Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3 x^{2}+x+1}{(x+1)^{3}-x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{3x^{2}+x+1}{(x+1)^{3}-x^{3}}.
O conteúdo aqui é limite no infinito de função racional envolvendo polinômios. Para resolver, vamos expandir o denominador, reescrever a fração e usar a técnica de dividir pelo maior grau de x.

Passo 2

Primeiro, expandimos o denominador:
(x+1)^{3}-x^{3} = \bigl(x^{3}+3x^{2}+3x+1\bigr)-x^{3} =3x^{2}+3x+1.
Assim a expressão do limite fica
\frac{3x^{2}+x+1}{(x+1)^{3}-x^{3}} =\frac{3x^{2}+x+1}{3x^{2}+3x+1}.

Passo 3

Para analisar o comportamento quando x\to -\infty, dividimos numerador e denominador por x^{2}:
\frac{3x^{2}+x+1}{3x^{2}+3x+1} =\frac{3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{3+ \frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}}.
Quando x\to -\infty, temos \frac{1}{x}\to0 e \frac{1}{x^{2}}\to0.

Passo 4

Portanto, no limite as parcelas de ordem inferior somam zero, sobrando
\frac{3+0+0}{3+0+0} =\frac{3}{3}=1.

Resposta

1

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