Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{(x-2)^{3}}{x(2 x+1)(x+2)}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -\infty}\frac{(x-2)^{3}}{x(2x+1)(x+2)}.
O conteúdo é limites de funções racionais no infinito. Vamos comparar os graus dos polinômios e dividir tudo pela maior potência de x.

Passo 2

Identificamos o grau de cada polinômio. O numerador (x-2)^{3} é de grau 3. O denominador
x(2x+1)(x+2)
é também de grau 3, pois
x(2x+1)(x+2)=2x^3+5x^2+2x.

Passo 3

Para realçar o termo dominante, dividimos numerador e denominador por x^3:
\frac{(x-2)^3}{2x^3+5x^2+2x} =\frac{x^3\,(1-2/x)^3}{x^3\bigl(2+5/x+2/x^2\bigr)} =\frac{(1-2/x)^3}{2+5/x+2/x^2}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando x\to -\infty. Como
\tfrac{2}{x}\to0, \tfrac{5}{x}\to0 e \tfrac{2}{x^2}\to0, fica
\lim_{x\to -\infty}\frac{(1-2/x)^3}{2+5/x+2/x^2} =\frac{1^3}{2} =\frac12.

Resposta

\displaystyle \tfrac12

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