Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{(x+1)^{3}(x-1)^{2}}{2 x^{5}}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x \to +\infty de
\frac{(x+1)^{3}(x-1)^{2}}{2x^{5}}.
O conteúdo é cálculo de limite no infinito de função racional de polinômios; vamos usar fatoração para extrair a potência dominante x.

Passo 2

Fatoramos x em cada parêntese:
(x+1)^{3} = x^{3}\Bigl(1 + \frac{1}{x}\Bigr)^{3}, \quad (x-1)^{2} = x^{2}\Bigl(1 - \frac{1}{x}\Bigr)^{2}.
Multiplicando,
(x+1)^{3}(x-1)^{2} = x^{5}\Bigl(1 + \frac{1}{x}\Bigr)^{3}\Bigl(1 - \frac{1}{x}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Substituindo na expressão original,
\frac{(x+1)^{3}(x-1)^{2}}{2x^{5}} = \frac{x^{5}\bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr)^{3}\bigl(1 - \tfrac{1}{x}\bigr)^{2}}{2x^{5}} = \frac{1}{2}\,\bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr)^{3}\bigl(1 - \tfrac{1}{x}\bigr)^{2}.
Como x \to +\infty implica \tfrac{1}{x}\to0, temos
\bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr)^{3}\to1, \quad \bigl(1 - \tfrac{1}{x}\bigr)^{2}\to1.
Logo o limite é
\frac{1}{2}\cdot1\cdot1 = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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