Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{(x+1)^{3}(x-1)^{2}}{2 x^{5}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\frac{(x+1)^{3}(x-1)^{2}}{2x^{5}}.
O conteúdo é limite de quociente de polinômios para x\to+\infty. Vamos fatorar a maior potência de x no numerador.

Passo 2

Fatorando x^{5} em (x+1)^{3}(x-1)^{2}, escrevemos
(x+1)^{3}(x-1)^{2} = x^{5}\bigl(1+\tfrac1x\bigr)^{3}\bigl(1-\tfrac1x\bigr)^{2}.
Logo,
\frac{(x+1)^{3}(x-1)^{2}}{2x^{5}} = \frac{x^{5}\,(1+\tfrac1x)^{3}(1-\tfrac1x)^{2}}{2x^{5}} = \frac{(1+\tfrac1x)^{3}(1-\tfrac1x)^{2}}{2}.

Passo 3

Ao aplicar o limite, usamos que \lim_{x\to+\infty}\tfrac1x=0 e que o limite de produto é produto dos limites:
\lim_{x\to+\infty}(1+\tfrac1x)^{3} =1^{3}=1, \qquad \lim_{x\to+\infty}(1-\tfrac1x)^{2} =1^{2}=1.

Passo 4

Portanto,
\lim_{x\to+\infty}\frac{(1+\tfrac1x)^{3}(1-\tfrac1x)^{2}}{2} =\frac{1\cdot 1}{2} =\frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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