Calcule os seguintes limites e em cada passo indique a indeterminada correspondente:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\frac{1}{x^{2}}-2 t g^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x^{2}}-2\tan^{-1}\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)}{\frac{1}{x}},
identificando em cada etapa a indeterminação. O conteúdo é limite de forma \tfrac{0}{0}, e usaremos a mudança de variável t = 1/x e a expansão em série de Taylor de \tan^{-1}(t).

Passo 2

Observando x\to+\infty, temos \tfrac{1}{x^{2}}\to0, \tan^{-1}(\tfrac{1}{x})\to\tan^{-1}(0)=0 e \tfrac{1}{x}\to0.
Logo numerador \tfrac{1}{x^{2}}-2\tan^{-1}(\tfrac{1}{x})\to0 e denominador \tfrac{1}{x}\to0.
Indeterminação: \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Fazendo t = \tfrac{1}{x}, então x\to+\infty implica t\to0^+ e o limite passa a ser
\lim_{t\to0^+}\frac{t^{2}-2\tan^{-1}(t)}{t}.
Ainda é \tfrac{0}{0}, pois t^{2}\to0 e \tan^{-1}(t)\to0.

Passo 4

Expandimos a série de Taylor de \tan^{-1}(t) em torno de t=0:
\tan^{-1}(t) = t - \frac{t^{3}}{3} + o(t^{3}).
Substituindo na expressão:
\frac{t^{2}-2\bigl(t - \tfrac{t^{3}}{3} + o(t^{3})\bigr)}{t} = \frac{t^{2}-2t + \tfrac{2t^{3}}{3} + o(t^{3})}{t} = -2 + t + \frac{2t^{2}}{3} + o(t^{2}).
Não há mais indeterminação quando t\to0.

Resposta

-2

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