Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 2} \sqrt{x^{2}+6 x-12}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to2} \sqrt{x^2+6x-12}.
Este problema envolve limites e continuidade de funções compostas, pois a raiz quadrada é contínua em seu domínio e o polinômio x^2+6x-12 é contínuo em todo \mathbb{R}.

Passo 2

Calcular o radicando em x=2. Temos
2^2 + 6\cdot2 - 12 = 4 + 12 - 12 = 4.

Passo 3

Analisar o domínio de \sqrt{x^2+6x-12} requer encontrar onde o radicando é não negativo. A equação
x^2 + 6x - 12 = 0
tem raízes
x = -3 \pm \sqrt{21},
logo o radicando é não negativo para x \ge -3 + \sqrt{21}\approx 1,58 ou x \le -3 - \sqrt{21}. Como 2 > -3 + \sqrt{21}, estamos em uma região onde a função está definida e é contínua.

Passo 4

Pela continuidade de \sqrt{u} em u=4 e da composição com o polinômio, podemos trocar o limite pela avaliação no ponto:
\lim_{x\to2} \sqrt{x^2+6x-12} = \sqrt{\lim_{x\to2}(x^2+6x-12)} = \sqrt{4} = 2.

Resposta

2

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