Considere os pontos (0,-1),(1,1),(2,9). Escreva:
(a) O sistema linear para determinar os coeficientes na base canônica
(b) O polinômio na forma de Newton

Passo 1

O enunciado pede o polinômio interpolador de grau <=2 que passa por (0,-1), (1,1) e (2,9). Para isso usaremos:
– A base canônica \{1,x,x^2\} e montagem de sistema linear para achar os coeficientes a_0,a_1,a_2.
– A forma de Newton com pontos x_0=0, x_1=1, x_2=2 e diferenças divididas.

Passo 2

Na base canônica escrevemos
p(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2
e impomos
\begin{cases} a_0 = -1,\\\ a_0 + a_1 + a_2 = 1,\\\ a_0 + 2a_1 + 4a_2 = 9. \end{cases}
Em forma matricial:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0\a_1\a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\\ 1\\\ 9 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para a forma de Newton, computamos as diferenças divididas:
f[x_0]=f(0)=-1,
f[x_0,x_1]=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{1-(-1)}{1}=2,
f[x_1,x_2]=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{9-1}{1}=8,
f[x_0,x_1,x_2] =\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{2-0} =\frac{8-2}{2}=3.

Passo 4

Montamos então a forma de Newton
p(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1]\,(x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2]\,(x-x_0)(x-x_1),
isto é
p(x)=-1 + 2\,(x-0) + 3\,(x-0)(x-1).

Resposta

(a) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0\a_1\a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\\ 1\\\ 9 \end{pmatrix}.
(b) p(x)=-1 + 2\,(x-0) + 3\,(x-0)(x-1).

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