Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{4 x^{4}+2 x^{3}}{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^{4}+2x^{3}}{1 - x^{2}},
que é um limite de uma função racional no infinito. Vamos usar o fato de que, quando x\to+\infty, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 2

Identificamos os graus dos polinômios: o numerador 4x^4+2x^3 tem grau 4 e o denominador 1 - x^2 tem grau 2. Como o grau do numerador é maior que o grau do denominador, o valor absoluto da fração cresce sem limite, isto é, tende a infinito (positivo ou negativo).

Passo 3

Para determinar o sinal, olhamos os termos de maior ordem em x:
– Numerador ≃ 4x^4, que é positivo para x\to+\infty.
– Denominador ≃ -x^2, que é negativo para x\to+\infty.
Portanto,
\frac{4x^4+2x^3}{1 - x^2} \;\approx\; \frac{4x^4}{-\,x^2} \;=\;-4x^2,
e como x^2\to+\infty, segue que a fração tende a -\infty.

Resposta

-\infty

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