Resolva a equação do calor sujeita às condições indicadas:
Resp.:
Resp.:
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação do calor
com condições de contorno de Dirichlet
e condição inicial
O conteúdo envolvido é separar variáveis, encontrar autovalores e autovetores para o operador em
e expandir a condição inicial em série de senos.
Passo 2
Supondo solução na forma
, substituímos na EDP e dividimos por
para obter
Isto gera o problema de autovalores em
:
Passo 3
As condições de contorno levam a autovalores positivos
e autovetores
A parte temporal associada é
Logo a solução geral por superposição é
Passo 4
Para determinar os coeficientes
, expandimos a condição inicial
em série de senos:
Calculando a integral por substituição:
Assim
Passo 5
Substituindo
na solução geral, obtemos