Resolva a equação do calor sujeita às condições indicadas:
u(0, t)=0, \quad u(L, t)=0 \quad u(x, 0)=\left\{\begin{array}{l}1,0<x<\frac{L}{2} \\\\ 0, \frac{L}{2}<x<L\end{array}\right.
Resp.: u(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n \pi}\left(1-\cos \frac{n \pi}{2}\right) e^{-k\left(\frac{n^{2} \pi^{2}}{L^{2}}\right) t} \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{L}

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação do calor
u_t = k\,u_{xx},\quad 0<x<L,\;t>0
com condições de contorno de Dirichlet
u(0,t)=0,\quad u(L,t)=0
e condição inicial
u(x,0)= \begin{cases} 1, & 0<x<\tfrac L2,\\\\ 0, & \tfrac L2<x<L. \end{cases}
O conteúdo envolvido é separar variáveis, encontrar autovalores e autovetores para o operador em x e expandir a condição inicial em série de senos.

Passo 2

Supondo solução na forma u(x,t)=X(x)\,T(t), substituímos na EDP e dividimos por X\,T para obter
\frac{T'}{k\,T} = \frac{X''}{X} = -\lambda.
Isto gera o problema de autovalores em X:
X'' + \lambda X = 0,\quad X(0)=0,\;X(L)=0.

Passo 3

As condições de contorno levam a autovalores positivos
\lambda_n = \Bigl(\tfrac{n\pi}{L}\Bigr)^{2},\quad n=1,2,\dots
e autovetores
X_n(x)=\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr).
A parte temporal associada é
T_n(t)=\exp\bigl(-k\,\lambda_n\,t\bigr) =\exp\!\Bigl(-k\,\tfrac{n^2\pi^2}{L^2}\,t\Bigr).
Logo a solução geral por superposição é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\,e^{-k\frac{n^2\pi^2}{L^2}t}\, \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr).

Passo 4

Para determinar os coeficientes B_n, expandimos a condição inicial
f(x)=u(x,0)= \begin{cases} 1,&0<x<\tfrac L2,\\\\ 0,&\tfrac L2<x<L \end{cases}
em série de senos:
B_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx =\frac{2}{L}\int_{0}^{L/2}1\cdot\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx.
Calculando a integral por substituição:
\int_{0}^{L/2}\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx =\Bigl[-\tfrac{L}{n\pi}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\Bigr]_{0}^{L/2} =-\tfrac{L}{n\pi}\bigl(\cos\tfrac{n\pi}{2}-1\bigr) =\tfrac{L}{n\pi}\bigl(1-\cos\tfrac{n\pi}{2}\bigr).
Assim
B_n=\frac{2}{L}\cdot\frac{L}{n\pi}\bigl(1-\cos\tfrac{n\pi}{2}\bigr) =\frac{2}{n\pi}\bigl(1-\cos\tfrac{n\pi}{2}\bigr).

Passo 5

Substituindo B_n na solução geral, obtemos
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n\pi}\bigl(1-\cos\tfrac{n\pi}{2}\bigr) \exp\!\Bigl(-k\,\tfrac{n^2\pi^2}{L^2}\,t\Bigr) \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr).

Resposta

u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n\pi}\Bigl(1-\cos\tfrac{n\pi}{2}\Bigr) e^{-k\bigl(\frac{n^2\pi^2}{L^2}\bigr)t} \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr).

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