Calcule o valor das integrais iteradas:
\int_{0}^{2} \int_{1}^{2}\left(x-3 y^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{1}^{2}\bigl(x - 3y^{2}\bigr)\,dx\,dy.
O conteúdo envolve o cálculo de antiderivadas primeiro em x (integral interna) e depois em y (integral externa).

Passo 2

Calculamos a integral interna
\int_{1}^{2}\bigl(x - 3y^{2}\bigr)\,dx = \int_{1}^{2}x\,dx \;-\;3y^{2}\int_{1}^{2}1\,dx.
As antiderivadas são
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}, \qquad \int 1\,dx = x.
Logo,
\int_{1}^{2}x\,dx = \Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{2} = 2 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}, \qquad \int_{1}^{2}1\,dx = [x]_{1}^{2} = 1.
Portanto
\int_{1}^{2}\bigl(x - 3y^{2}\bigr)\,dx = \tfrac{3}{2} - 3y^{2}\cdot 1 = \tfrac{3}{2} - 3y^{2}.

Passo 3

Agora integramos esse resultado em y de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\Bigl(\tfrac{3}{2} - 3y^{2}\Bigr)\,dy = \int_{0}^{2}\tfrac{3}{2}\,dy \;-\;3\int_{0}^{2}y^{2}\,dy.
As antiderivadas são
\int \tfrac{3}{2}\,dy = \tfrac{3}{2}y, \qquad \int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}.
Logo
\int_{0}^{2}\tfrac{3}{2}\,dy = \Bigl[\tfrac{3}{2}y\Bigr]_{0}^{2} = 3, \qquad \int_{0}^{2}y^{2}\,dy = \Bigl[\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{2} = \tfrac{8}{3}.
E então
\int_{0}^{2}\Bigl(\tfrac{3}{2} - 3y^{2}\Bigr)\,dy = 3 - 3\cdot \tfrac{8}{3} = 3 - 8 = -5.

Resposta

-5

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