Considere um capacitor constituído de duas esferas concêntricas S_{1} e S_{2} de raios r_{1}=4 cm e \mathrm{r}_{2}=8 \mathrm{~cm}. Suponha que o potencial eletrostáticos em \mathrm{S}_{1} é \mathrm{V}_{1}=110 volts e em \mathrm{S}_{2}, \mathrm{V}_{2}=0, encontre o potencial \mathrm{V}(\mathrm{r}) entre duas esferas.
\mathrm{V}(\mathrm{r}) é a solução da equação \frac{r d^{2} V}{d r^{2}}+\frac{2 d V}{d r}=0.

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor esférico formado por duas esferas concêntricas de raios r_{1}=4,cm e r_{2}=8,cm, com potencial em r_{1} igual a V_{1}=110,V e em r_{2} igual a V_{2}=0,V. Queremos achar o potencial V(r) para 4,cm \le r\le 8,cm, resolvendo a equação diferencial radial
r\,\frac{d^{2}V}{dr^{2}}+2\,\frac{dV}{dr}=0,
que vem da parte radial da equação de Laplace em coordenadas esféricas.

Passo 2

Note que
r\,\frac{d^{2}V}{dr^{2}}+2\,\frac{dV}{dr} =\frac{d}{dr}\!\Bigl(r^{2}\frac{dV}{dr}\Bigr)=0.
Isso implica que
r^{2}\,\frac{dV}{dr}=C_{1},
onde C_{1} é constante.

Passo 3

Integrando \displaystyle \frac{dV}{dr}=\frac{C_{1}}{r^{2}}, obtemos
V(r)=-\frac{C_{1}}{r}+C_{2},
ou seja, a solução geral pode ser escrita como
V(r)=A+\frac{B}{r},
com A e B constantes a determinar.

Passo 4

Impondo as condições de contorno
V(r_{1})=V_{1}\quad\Longrightarrow\quad A+\frac{B}{r_{1}}=V_{1},
V(r_{2})=V_{2}\quad\Longrightarrow\quad A+\frac{B}{r_{2}}=V_{2},
subtraindo-as vem
V_{1}-V_{2} =B\Bigl(\tfrac{1}{r_{1}}-\tfrac{1}{r_{2}}\Bigr).
Como V_{2}=0,
B=\frac{V_{1}}{\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}} =\frac{110}{\frac{1}{4}-\frac{1}{8}} =880,
e então
A=-\frac{B}{r_{2}} =-\frac{880}{8} =-110.

Passo 5

Substituindo A e B na solução geral, fica
V(r)=-110+\frac{880}{r},
com r em centímetros.

Resposta

V(r)=-110+\frac{880}{r}\quad\text{(para \(4\)\,cm \(\le r\le 8\)\,cm).}

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