Esboce o gráfico da função no intervalo dado. Depois integre a função no intervalo dado e determine a área da região entre o gráfico e o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
no intervalo de
de 0 a 3. Depois, vamos integrar essa função nesse mesmo intervalo para encontrar a área entre o gráfico da função e o eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa é uma função quadrática, e o gráfico dela é uma parábola. O coeficiente de
é positivo, então a parábola abre para cima.
Passo 3
Vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de
onde
. Para isso, resolvemos a equação quadrática:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, vamos fatorar:
Portanto, as raízes são
e
.
Passo 4
Agora, como nosso intervalo é de 0 a 3, vamos ver onde a parábola cruza o eixo
nesse intervalo. Só
está dentro de [0,3]. Isso significa que a parábola toca o eixo
em
dentro do nosso intervalo.
Passo 5
Vamos encontrar o vértice da parábola, que é o ponto mais baixo já que a parábola abre para cima. A fórmula para encontrar o
do vértice é:
Para nossa função,
e
:
Agora, substituímos
na função para encontrar
:
Então, o vértice está em
.
Passo 6
Vamos esboçar o gráfico:
- Raízes:
e (mas consideramos até 3). - Vértice:
. - A parábola abre para cima.
No intervalo [0,3], o gráfico começa acima do eixo
, cruza em
, e tem o vértice em
onde
.
Passo 7
Agora, vamos integrar a função no intervalo de 0 a 3 para encontrar a área entre o gráfico e o eixo
. A integral definida nos dá a área líquida, considerando acima e abaixo do eixo.
A função é
. A integral de
de 0 a 3 é:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 8
Primeiro, encontramos a antiderivada da função:
Como é uma integral definida, vamos calcular entre 0 e 3:
Passo 9
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 10
Subtraímos os valores:
Então, a área entre o gráfico da função e o eixo
no intervalo de 0 a 3 é 6 unidades quadradas.
Resposta
A área da região entre o gráfico da função
e o eixo
no intervalo de 0 a 3 é 6 unidades quadradas.