Esboce o gráfico da função no intervalo dado. Depois integre a função no intervalo dado e determine a área da região entre o gráfico e o eixo x.
y = x^2 - 6x + 8, [0,3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função no intervalo de de 0 a 3. Depois, vamos integrar essa função nesse mesmo intervalo para encontrar a área entre o gráfico da função e o eixo . Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma função quadrática, e o gráfico dela é uma parábola. O coeficiente de é positivo, então a parábola abre para cima.

Passo 3

Vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de onde . Para isso, resolvemos a equação quadrática:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, vamos fatorar:
Portanto, as raízes são e .

Passo 4

Agora, como nosso intervalo é de 0 a 3, vamos ver onde a parábola cruza o eixo nesse intervalo. Só está dentro de [0,3]. Isso significa que a parábola toca o eixo em dentro do nosso intervalo.

Passo 5

Vamos encontrar o vértice da parábola, que é o ponto mais baixo já que a parábola abre para cima. A fórmula para encontrar o do vértice é:
Para nossa função, e :
Agora, substituímos na função para encontrar :
Então, o vértice está em .

Passo 6

Vamos esboçar o gráfico:
  • Raízes: e (mas consideramos até 3).
  • Vértice: .
  • A parábola abre para cima.
No intervalo [0,3], o gráfico começa acima do eixo , cruza em , e tem o vértice em onde .

Passo 7

Agora, vamos integrar a função no intervalo de 0 a 3 para encontrar a área entre o gráfico e o eixo . A integral definida nos dá a área líquida, considerando acima e abaixo do eixo.
A função é . A integral de de 0 a 3 é:
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 8

Primeiro, encontramos a antiderivada da função:
Como é uma integral definida, vamos calcular entre 0 e 3:

Passo 9

Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para :

Passo 10

Subtraímos os valores:
Então, a área entre o gráfico da função e o eixo no intervalo de 0 a 3 é 6 unidades quadradas.

Resposta

A área da região entre o gráfico da função e o eixo no intervalo de 0 a 3 é 6 unidades quadradas.

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