Calcule os limites
lim x 0^+ sen(x) ln (x)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^+sin(x),ln(x)^2
Este é um caso de indeterminação do tipo 0cdotinfty. Vamos usar a equivalência sin(x)sim x quando xto0 e a propriedade de que x,|ln(x)|^nto0 para qualquer n>0.

Passo 2

Como sin(x)to0 e ln(x)^2to+infty, escrevemos
sin(x),ln(x)^2 = x;sin(x)x;ln(x)^2
Sabemos que
limxto0sin(x)x=1,
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limxto0^+sin(x),ln(x)^2 = limxto0^+x,ln(x)^2

Passo 3

Para avaliar limxto0^+x,ln(x)^2, fazemos a substituição x=e^-t com tto+infty. Então ln(x)=-t e
x,ln(x)^2 = e^-t,t^2
Como a função exponencial decai muito mais rápido que qualquer polinômio, temos
limtto+inftye^-t,t^2=0

Resposta

0

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