Classifique a série como convergente, divergente ou condicionalmente convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que classificar a série infinita como convergente, divergente ou condicionalmente convergente. Isso envolve entender um pouquinho sobre séries alternadas e testes de convergência que ajudam a determinar o comportamento dessa soma infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A série dada é:
Podemos dividir os termos no numerador para simplificar:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar a convergência dessa série utilizando o Teste da Série Alternada. Esse teste nos ajuda a verificar se uma série que alterna sinais (positivo e negativo) converge.
O teste diz que a série converge se:
é uma sequência decrescente: para todo .
O limite de quando tende ao infinito é zero: .
No nosso caso, .
Passo 4
Vamos verificar as condições do teste:
Sequência decrescente: . Claramente, e , então . Portanto, a sequência é decrescente.
Limite de :
Ambas as condições são satisfeitas.
Passo 5
Além disso, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa verificar se a série dos valores absolutos converge:
Podemos separar as séries:
é a série harmônica, que sabemos que diverge.
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{3}} , então converge.
No entanto, como uma das partes diverge, a série dos valores absolutos também diverge.
Resposta
A série sumk=1^infty (-1)^k k^2+1k^3 é condicionalmente convergente.