Classifique a série como convergente, divergente ou condicionalmente convergente.
sumk=1^infty(-1)^k k^2+1k^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que classificar a série infinita sumk=1^infty (-1)^k k^2+1k^3 como convergente, divergente ou condicionalmente convergente. Isso envolve entender um pouquinho sobre séries alternadas e testes de convergência que ajudam a determinar o comportamento dessa soma infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A série dada é:
sumk=1^infty (-1)^k k^2 + 1k^3
Podemos dividir os termos no numerador para simplificar:
k^2 + 1k^3 = k^2k^3 + 1k^3 = 1k + 1k^3
Então, a série fica:
sumk=1^infty (-1)^k ( 1k + 1k^3 )

Passo 3

Agora, vamos analisar a convergência dessa série utilizando o Teste da Série Alternada. Esse teste nos ajuda a verificar se uma série que alterna sinais (positivo e negativo) converge.
O teste diz que a série sum (-1)^k ak converge se:
  1. ak é uma sequência decrescente: ak+1 <= ak para todo k .
  2. O limite de ak quando k tende ao infinito é zero: limk to infty ak = 0 .
No nosso caso, ak = 1k + 1k^3 .

Passo 4

Vamos verificar as condições do teste:
  1. Sequência decrescente: ak+1 = 1k+1 + 1(k+1)^3 . Claramente, 1k+1 < 1k e 1(k+1)^3 < 1k^3 , então ak+1 < ak . Portanto, a sequência é decrescente.
  2. Limite de ak :
limk to infty ( 1k + 1k^3 ) = limk to infty 1k + limk to infty 1k^3 = 0 + 0 = 0
Ambas as condições são satisfeitas.

Passo 5

Além disso, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa verificar se a série dos valores absolutos converge:
Podemos separar as séries:
é a série harmônica, que sabemos que diverge.
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{3}} , então converge.
No entanto, como uma das partes diverge, a série dos valores absolutos também diverge.

Resposta

A série sumk=1^infty (-1)^k k^2+1k^3 é condicionalmente convergente.

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