Calcule os limites:
lim x 0 3^x+4-81x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar
limxto 0 3^x+4-81x
Isso é um exercício de limites envolvendo função exponencial.
O que vamos precisar:
  1. Saber que 3^x+4=3^4cdot3^x=81cdot3^x.
  2. Usar a reescrita 3^x=e^xln3.
  3. Conhecer o limite clássico limtto0e^t-1t=1.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o 3^x+4:
3^x+4=3^4cdot3^x=81cdot3^x
Então o numerador vira
3^x+4-81 = 81cdot3^x - 81 = 81,(3^x-1)
Logo
3^x+4-81x = 81,(3^x-1)x = 81;3^x-1x

Passo 3

Agora a gente precisa de
L=limxto03^x-1x
Usa a reescrita 3^x=e^xln3:
3^x-1x = e^xln3-1x
Faz a troca t = xln3. Quando xto0, tto0, e x = t/(ln3). Então
e^xln3-1x = e^t-1t;tx = e^t-1t;ln3

Passo 4

A gente sabe que
limtto0e^t-1t = 1
Portanto
L = limxto03^x-1x = 1cdotln3 = ln3
Voltando ao limite original, multiplicamos pelo 81 que ficou de fora:

Resposta

boxed81,ln(3)

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