Deter mine o dominio, imagem e esboce gráfico das funções:
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
de duas variáveis
As perguntas são:
- Determinar o domínio de
(conjunto de pontos onde está bem definida). - Determinar a imagem (conjunto de valores reais que
pode assumir). - Esboçar/descrever o gráfico de
.
Informações dadas que vamos usar:
- Há uma raiz quadrada
; para ela fazer sentido real é preciso uma restrição em . - Há uma divisão por
; isso exige que o denominador não seja zero.
Nada mais foi dado (nem figura), então trabalhamos só com a expressão algébrica.
Passo 2
Condição 1: domínio da raiz quadrada.
A raiz quadrada real existe somente quando o radicando é não negativo:
. Aqui
. Portanto precisamos de
A raiz quadrada real
Resolvendo essa inequação:
Então, para qualquer ponto do domínio devemos ter
.
Passo 3
Condição 2: denominador não pode ser zero.
Temos denominador . Isso implica
Temos denominador
Não há nenhuma outra restrição sobre
(além dessa). Note que a condição
vale para todo
dentro do permitido por
.
Passo 4
Combinação das duas condições -> domínio final.
Juntando e
, o domínio é o conjunto de todos os pares
com
, exceto a reta
. Em notação:
Juntando
Na prova é só escrever isso com calma e justificar como fizemos (raiz e denominador).
Passo 5
Estratégia para a imagem (ideia que vamos usar).
Queremos saber quais valores reais são assumidos por
. O procedimento padrão: dado um valor
, tentar resolver
Queremos saber quais valores reais
por algum
no domínio. Se para todo
conseguirmos uma solução, então a imagem é
. Vamos tratar separadamente
e
.
Passo 6
Caso
.
Partimos da equação
Partimos da equação
Multiplicando ambos os lados por
(que não pode ser zero no domínio):
Queremos, dada qualquer
, mostrar que existe
com
e
que satisfaça isso. Isolamos
:
Agora observações importantes:
- Se escolhemos qualquer
, então . - Para tal
e o definido acima, claramente porque (já que e ).
Portanto para qualquerpodemos tomar qualquer e definir por aquela fórmula; o par pertence ao domínio e faz . Conclusão: todo está na imagem.
Passo 7
Caso
.
Queremos saber se existe no domínio com
. A equação
é
Queremos saber se existe
Uma fração é zero quando o numerador é zero (e o denominador é diferente de zero). Assim devemos ter
, ou seja
Com
o numerador é zero e
desde que o denominador não seja zero, isto é
, ou seja
. Logo existem muitos pontos no domínio com valor 0 (por exemplo
dá
). Portanto
também pertence à imagem.
Passo 8
Conclusão sobre a imagem.
Do Passo 6 temos que todos os são valores possíveis. Do Passo 7 temos que
também é possível. Logo a imagem é todo o conjunto dos números reais:
Do Passo 6 temos que todos os
Passo 9
Interpretação geométrica e esboço do gráfico
. Dicas para desenhar na prova:
- Domínio no plano
: meia-plano com a reta retirada. Ou seja, para cada a função está definida para todos os exceto . - Corte por uma reta vertical
constante (fixar ): então é uma constante não negativa e a seção é a curva em
Isto é uma hipérbole rectangular em termos de
e
, com assíntotas horizontais
e vertical
. Para
a hipérbole não corta o eixo
; para
temos
e a seção é a reta
(exceto o ponto onde
que não pertence ao domínio).
3. Comportamento perto da reta excluída : ao nos aproximarmos dessa reta pela direita/ esquerda,
e, como
,
. Ou seja, o gráfico tem uma “parede” de tipo assíntota vertical ao longo da linha do domínio retirada.
4. Para (fixo
),
. Assim cada seção tende a zero para
muito grande em módulo.
5. Exemplos numéricos simples para visualizar: se então
e a seção é
— uma hipérbole com assíntota vertical
e horizontal
. Se
então a seção é
(linha no plano
) exceto no
.
3. Comportamento perto da reta excluída
4. Para
5. Exemplos numéricos simples para visualizar: se
Resumo do esboço: o gráfico é a reunião de hipérboles (uma para cada
), com uma linha de pontos onde o gráfico toca
(quando
), e uma linha de assíntotas verticais projetadas no plano
dada por
. Em provas, desenhe o meio-plano
, marque a reta excluída
, e para dois ou três valores de
desenhe as hipérboles em
para visualizar.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Esboço do gráfico: superfície formada por, para cada , a hipérbole
em função de
(assíntotas: vertical
e horizontal
); para
a seção é
(com
), e o gráfico tende a
ao aproximar-se da reta excluída
.
Imagem:
Esboço do gráfico: superfície formada por, para cada