Deter mine o dominio, imagem e esboce gráfico das funções:
f(x, y)=\frac{\sqrt{3 x-1}}{2 y-x}

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função f de duas variáveis
f(x,y)=\frac{\sqrt{3x-1}}{2y-x}.
As perguntas são:
  1. Determinar o domínio de f (conjunto de pontos (x,y) onde f está bem definida).
  2. Determinar a imagem (conjunto de valores reais que f pode assumir).
  3. Esboçar/descrever o gráfico de z=f(x,y).
Informações dadas que vamos usar:
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{3x-1}; para ela fazer sentido real é preciso uma restrição em x.
  • Há uma divisão por 2y-x; isso exige que o denominador não seja zero.
    Nada mais foi dado (nem figura), então trabalhamos só com a expressão algébrica.

Passo 2

Condição 1: domínio da raiz quadrada.
A raiz quadrada real \sqrt{u} existe somente quando o radicando é não negativo: u\ge 0. Aqui u=3x-1. Portanto precisamos de
3x-1 \ge 0.
Resolvendo essa inequação:
3x \ge 1 \quad\Rightarrow\quad x \ge \frac{1}{3}.
Então, para qualquer ponto do domínio devemos ter x\ge \frac{1}{3}.

Passo 3

Condição 2: denominador não pode ser zero.
Temos denominador 2y-x. Isso implica
2y-x \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y \neq \frac{x}{2}.
Não há nenhuma outra restrição sobre y (além dessa). Note que a condição y\neq x/2 vale para todo x dentro do permitido por x\ge \frac{1}{3}.

Passo 4

Combinação das duas condições -> domínio final.
Juntando x\ge \frac{1}{3} e y\neq \frac{x}{2}, o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) com x\ge \frac{1}{3}, exceto a reta y=\frac{x}{2}. Em notação:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge \tfrac{1}{3},\; y\neq \tfrac{x}{2}\}.
Na prova é só escrever isso com calma e justificar como fizemos (raiz e denominador).

Passo 5

Estratégia para a imagem (ideia que vamos usar).
Queremos saber quais valores reais z são assumidos por f. O procedimento padrão: dado um valor t\in\mathbb{R}, tentar resolver
\frac{\sqrt{3x-1}}{2y-x}=t
por algum (x,y) no domínio. Se para todo t conseguirmos uma solução, então a imagem é \mathbb{R}. Vamos tratar separadamente t=0 e t\neq 0.

Passo 6

Caso t\neq 0.
Partimos da equação
\frac{\sqrt{3x-1}}{2y-x}=t.
Multiplicando ambos os lados por 2y-x (que não pode ser zero no domínio):
\sqrt{3x-1}=t(2y-x).
Queremos, dada qualquer t\neq 0, mostrar que existe (x,y) com x\ge \frac{1}{3} e y\neq \frac{x}{2} que satisfaça isso. Isolamos y:
2y-x=\frac{\sqrt{3x-1}}{t}\quad\Rightarrow\quad y=\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3x-1}}{2t}.
Agora observações importantes:
  • Se escolhemos qualquer x>\frac{1}{3}, então \sqrt{3x-1}>0.
  • Para tal x e o y definido acima, claramente y\neq \frac{x}{2} porque \frac{\sqrt{3x-1}}{2t}\neq 0 (já que \sqrt{3x-1}>0 e t\neq 0).
    Portanto para qualquer t\neq 0 podemos tomar qualquer x>\frac{1}{3} e definir y por aquela fórmula; o par (x,y) pertence ao domínio e faz f(x,y)=t. Conclusão: todo t\neq 0 está na imagem.

Passo 7

Caso t=0.
Queremos saber se existe (x,y) no domínio com f(x,y)=0. A equação f(x,y)=0 é
\frac{\sqrt{3x-1}}{2y-x}=0.
Uma fração é zero quando o numerador é zero (e o denominador é diferente de zero). Assim devemos ter \sqrt{3x-1}=0, ou seja
3x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{3}.
Com x=\frac{1}{3} o numerador é zero e f=0 desde que o denominador não seja zero, isto é 2y-\tfrac{1}{3}\neq 0, ou seja y\neq \tfrac{1}{6}. Logo existem muitos pontos no domínio com valor 0 (por exemplo (x,y)=(\tfrac{1}{3},0) f=0). Portanto 0 também pertence à imagem.

Passo 8

Conclusão sobre a imagem.
Do Passo 6 temos que todos os t\neq 0 são valores possíveis. Do Passo 7 temos que t=0 também é possível. Logo a imagem é todo o conjunto dos números reais:
\mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}.

Passo 9

Interpretação geométrica e esboço do gráfico z=f(x,y). Dicas para desenhar na prova:
  1. Domínio no plano (x,y): meia-plano \{x\ge \tfrac{1}{3}\} com a reta y=\tfrac{x}{2} retirada. Ou seja, para cada x\ge\tfrac{1}{3} a função está definida para todos os y exceto y=\tfrac{x}{2}.
  2. Corte por uma reta vertical x= constante (fixar x\ge\tfrac{1}{3}): então A=\sqrt{3x-1} é uma constante não negativa e a seção é a curva em (y,z)
z=\frac{A}{2y-x}.
Isto é uma hipérbole rectangular em termos de y e z, com assíntotas horizontais z=0 e vertical y=\tfrac{x}{2}. Para x>\tfrac{1}{3} a hipérbole não corta o eixo z=0; para x=\tfrac{1}{3} temos A=0 e a seção é a reta z=0 (exceto o ponto onde y=\tfrac{1}{6} que não pertence ao domínio).
3. Comportamento perto da reta excluída y=\tfrac{x}{2}: ao nos aproximarmos dessa reta pela direita/ esquerda, 2y-x\to 0^\pm e, como \sqrt{3x-1}\ge0, z\to\pm\infty. Ou seja, o gráfico tem uma “parede” de tipo assíntota vertical ao longo da linha do domínio retirada.
4. Para |y|\to\infty (fixo x), z\to 0. Assim cada seção tende a zero para y muito grande em módulo.
5. Exemplos numéricos simples para visualizar: se x=1 então A=\sqrt{2} e a seção é z=\sqrt{2}/(2y-1) — uma hipérbole com assíntota vertical y=\tfrac{1}{2} e horizontal z=0. Se x=\tfrac{1}{3} então a seção é z=0 (linha no plano z=0) exceto no y=\tfrac{1}{6}.
Resumo do esboço: o gráfico é a reunião de hipérboles (uma para cada x\ge\tfrac{1}{3}), com uma linha de pontos onde o gráfico toca z=0 (quando x=\tfrac{1}{3}), e uma linha de assíntotas verticais projetadas no plano (x,y) dada por y=\tfrac{x}{2}. Em provas, desenhe o meio-plano x\ge\tfrac{1}{3}, marque a reta excluída y=\tfrac{x}{2}, e para dois ou três valores de x desenhe as hipérboles em (y,z) para visualizar.

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge \tfrac{1}{3},\; y\neq \tfrac{x}{2}\}.
Imagem: \mathbb{R}.
Esboço do gráfico: superfície formada por, para cada x\ge\tfrac{1}{3}, a hipérbole z=\dfrac{\sqrt{3x-1}}{2y-x} em função de y (assíntotas: vertical y=\tfrac{x}{2} e horizontal z=0); para x=\tfrac{1}{3} a seção é z=0 (com y\neq\tfrac{1}{6}), e o gráfico tende a \pm\infty ao aproximar-se da reta excluída y=\tfrac{x}{2}.

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