Calcule os limites : lim (x, y) (0,0) e^x sin xx

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A gente vai trabalhar com cálculo de limites, focando em funções de várias variáveis. Neste caso, só o aparece na expressão, então vamos focar nele para resolver.

Passo 2

Primeiro, percebemos que a expressão depende apenas de , já que o não aparece. Então, o limite simplifica para .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de x sin x approx x cdot x = x^2 quando se aproxima de 0. Sabemos que é aproximadamente igual a para valores pequenos de , então:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na exponencial, temos:
e^x sin x approx e^x^2
Sabemos que para e^x^2 approx 1 + x^2 pequeno, . Aplicando isso:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na fração original:
e^x sin xx approx 1 + x^2x = 1x + x

Passo 6

Vamos analisar o comportamento de quando se aproxima de 0:
  • Se se aproxima de 0 pela direita (valores positivos), tende a .
  • Se se aproxima de 0 pela esquerda (valores negativos), tende a .
O termo se aproxima de 0 em ambos os casos, então ele não afeta o comportamento dominante da fração.

Resposta

O limite não existe porque tende a pela direita e pela esquerda.

Exercícios relacionados