Seja (an) uma sequência de números reais tal que |an-1| <= 2^-n para todo n in N. Considere a série de potências centrada em 0 dada por
f(x)=sumn=0^infty an x^n
e indique a afirmação falsa.
(b) O raio de convergência desta série é 1 .

Passo 1

Vamos resumir o que foi pedido. Temos uma sequência de números reais f(x) = sumn=0^infty an x^n onde cada termo satisfaz . A função dada é uma série de potências centrada em 0:
Precisamos verificar se a afirmação (b) “O raio de convergência desta série é 1” é falsa ou não. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e determinar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o raio de convergência R = 1limsupn to infty |an|^1/n de uma série de potências pode ser encontrado usando a fórmula:
Aqui, representa o limite superior, que ajuda a determinar o comportamento dos termos da sequência à medida que tende ao infinito.

Passo 3

Dado que 1 - 2^-n <= an <= 1 + 2^-n , podemos reescrever isso como:
Isso significa que os termos estão muito próximos de 1, especialmente quando fica grande, já que tende a zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular limn to infty |an| = 1 . Sabemos que:
limsupn to infty |an|^1/n = 1^1/n = 1
Portanto,
R = 11 = 1
Substituindo na fórmula do raio de convergência:

Resposta

A afirmação (b) é verdadeira.

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