Seja
uma sequência de números reais tal que
para todo
. Considere a série de potências centrada em 0 dada por
e indique a afirmação falsa.
(b) O raio de convergência desta série é 1 .
(b) O raio de convergência desta série é 1 .
Passo 1
Vamos resumir o que foi pedido. Temos uma sequência de números reais
onde cada termo satisfaz
. A função dada é uma série de potências centrada em 0:
Precisamos verificar se a afirmação (b) “O raio de convergência desta série é 1” é falsa ou não. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e determinar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o raio de convergência
de uma série de potências
pode ser encontrado usando a fórmula:
Aqui,
representa o limite superior, que ajuda a determinar o comportamento dos termos da sequência à medida que
tende ao infinito.
Passo 3
Dado que
, podemos reescrever isso como:
Isso significa que os termos
estão muito próximos de 1, especialmente quando
fica grande, já que
tende a zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Sabemos que:
Portanto,
Substituindo na fórmula do raio de convergência:
Resposta
A afirmação (b) é verdadeira.