Indique a afirmação falsa.
(d) Sejam
e
derivável. Se
para todo
, então
.
(d) Sejam
Passo 1
Vamos analisar a afirmação dada:
(d) Sejam e
derivável. Se
para todo
, então
.
(d) Sejam
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com desigualdades envolvendo funções deriváveis. Precisaremos entender como uma condição sobre a derivada de uma função pode influenciar o comportamento da função quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a desigualdade dada:
Podemos rearranjar essa expressão para:
Passo 3
Essa é uma inequação diferencial linear do primeiro grau. A ideia aqui é comparar
com a solução da equação
, que é uma equação diferencial cuja solução é
.
Passo 4
Sabemos que
tende a zero quando
tende ao infinito, já que o expoente
vai para
. Isso sugere que se
, então
deve decrescer pelo menos tão rápido quanto
, ou seja, também deve tender a zero.
Passo 5
Para formalizar, podemos usar o método de comparação. Como
, a função
está sendo “puxada” para baixo por uma taxa proporcional a si mesma. Isso implica que
não apenas diminui, mas diminui de forma exponencialmente rápida, garantindo que
.
Resposta
A afirmação (d) é verdadeira.