Indique a afirmação falsa.
(d) Sejam c>0 e f: R (0,+infty) derivável. Se c f(x)+f^prime(x) <= 0 para todo x, então lim x +infty f(x)=0.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação dada:
(d) Sejam e derivável. Se para todo , então .
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com desigualdades envolvendo funções deriváveis. Precisaremos entender como uma condição sobre a derivada de uma função pode influenciar o comportamento da função quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a desigualdade dada:
c f(x) + f^prime(x) <= 0
Podemos rearranjar essa expressão para:
f^prime(x) <= -c f(x)

Passo 3

Essa é uma inequação diferencial linear do primeiro grau. A ideia aqui é comparar com a solução da equação , que é uma equação diferencial cuja solução é .

Passo 4

Sabemos que tende a zero quando tende ao infinito, já que o expoente vai para . Isso sugere que se , então deve decrescer pelo menos tão rápido quanto , ou seja, também deve tender a zero.

Passo 5

Para formalizar, podemos usar o método de comparação. Como , a função está sendo “puxada” para baixo por uma taxa proporcional a si mesma. Isso implica que não apenas diminui, mas diminui de forma exponencialmente rápida, garantindo que .

Resposta

A afirmação (d) é verdadeira.

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