Esboce as curvas de nível de f, para os seguintes valores de c
f(x, y)=xx^2+y^2+1, c=-2,0,2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar as curvas de nível da função f(x, y) = xx^2 + y^2 + 1 para os valores de c = -2, 0, 2 . Isso faz parte do estudo de funções de duas variáveis, onde as curvas de nível ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. São as curvas no plano xy onde a função f(x, y) assume um valor constante c . Ou seja, queremos resolver a equação xx^2 + y^2 + 1 = c para cada valor de c .

Passo 3

Vamos começar com c = 0 . Substituindo na equação:
xx^2 + y^2 + 1 = 0
Isso só acontece quando o numerador é zero, ou seja, x = 0 . Então, para c = 0 , a curva de nível é a reta x = 0 , que é o eixo y .

Passo 4

Agora, vamos para c = 2 . Substituindo na equação:
xx^2 + y^2 + 1 = 2
Multiplicando ambos os lados por x^2 + y^2 + 1 :
x = 2(x^2 + y^2 + 1)
Rearranjando os termos:
2x^2 + 2y^2 - x + 2 = 0
Essa equação representa uma elipse. Para simplificar, podemos completar o quadrado ou identificar os coeficientes, mas para fins de esboço, sabemos que é uma elipse centrada próximo à origem.

Passo 5

Fazendo o mesmo para c = -2 :
xx^2 + y^2 + 1 = -2
Multiplicando ambos os lados:
x = -2(x^2 + y^2 + 1)
Rearranjando:
2x^2 + 2y^2 + x + 2 = 0
Novamente, essa é a equação de uma elipse, semelhante à anterior, mas refletida devido ao sinal negativo.

Resposta

As curvas de nível de f(x, y) = xx^2 + y^2 + 1 são:
  • Para c = 0 : a reta x = 0 (eixo y ).
  • Para c = 2 e c = -2 : elipses centradas próximas à origem.

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