Esboce as curvas de nível de
, para os seguintes valores de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar as curvas de nível da função
para os valores de
. Isso faz parte do estudo de funções de duas variáveis, onde as curvas de nível ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. São as curvas no plano
onde a função
assume um valor constante
. Ou seja, queremos resolver a equação
para cada valor de
.
Passo 3
Vamos começar com
. Substituindo na equação:
Isso só acontece quando o numerador é zero, ou seja,
. Então, para
, a curva de nível é a reta
, que é o eixo
.
Passo 4
Agora, vamos para
. Substituindo na equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando os termos:
Essa equação representa uma elipse. Para simplificar, podemos completar o quadrado ou identificar os coeficientes, mas para fins de esboço, sabemos que é uma elipse centrada próximo à origem.
Passo 5
Fazendo o mesmo para
:
Multiplicando ambos os lados:
Rearranjando:
Novamente, essa é a equação de uma elipse, semelhante à anterior, mas refletida devido ao sinal negativo.
Resposta
As curvas de nível de
são:
- Para
: a reta (eixo ). - Para
e : elipses centradas próximas à origem.