Nos seguintes problemas, calcule o limites de
quando
tende a
ao longo dos caminhos indicados
,
ao longo do eixo
,
ao longo da curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite da função
quando
se aproxima de
ao longo de dois caminhos diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e analisar cada caminho separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite ao longo de um caminho específico. Quando calculamos o limite de uma função de duas variáveis
quando
tende a
ao longo de um caminho, estamos substituindo
por uma expressão em termos de
que representa esse caminho e então calculando o limite unidimensional resultante.
Passo 3
Vamos resolver a parte (i): calcular o limite ao longo do eixo
.
Ao longo do eixo
, o valor de
é sempre zero. Então, substituímos
na função:
Agora, calculamos o limite quando
tende a 0:
Passo 4
Agora, vamos resolver a parte (ii): calcular o limite ao longo da curva
.
Substituímos
na função:
Vamos simplificar o numerador e o denominador:
Primeiro, calculamos o denominador:
Agora, o numerador:
Portanto,
Agora, a função fica:
Podemos dividir cada termo do numerador por
:
Agora, calculamos o limite quando
tende a 0:
Observamos que
tende ao infinito quando
tende a 0. Mesmo os outros termos tendem a 0, mas o termo
domina e o limite é infinito.
Resposta
(i) O limite ao longo do eixo
é 1.
(ii) O limite ao longo da curva
tende ao infinito.