Nos seguintes problemas, calcule o limites de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0) ao longo dos caminhos indicados
f(x, y)=x^2+y^3x^2+y, (i) ao longo do eixo x, (ii) ao longo da curva y=x^3-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite da função f(x, y) = x^2 + y^3x^2 + y quando (x, y) se aproxima de (0,0) ao longo de dois caminhos diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e analisar cada caminho separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite ao longo de um caminho específico. Quando calculamos o limite de uma função de duas variáveis f(x, y) quando (x, y) tende a (a, b) ao longo de um caminho, estamos substituindo y por uma expressão em termos de x que representa esse caminho e então calculando o limite unidimensional resultante.

Passo 3

Vamos resolver a parte (i): calcular o limite ao longo do eixo x .
Ao longo do eixo x , o valor de y é sempre zero. Então, substituímos y = 0 na função:
f(x, 0) = x^2 + 0^3x^2 + 0 = x^2x^2 = 1
Agora, calculamos o limite quando x tende a 0:
limx to 0 f(x, 0) = limx to 0 1 = 1

Passo 4

Agora, vamos resolver a parte (ii): calcular o limite ao longo da curva y = x^3 - x^2 .
Substituímos y = x^3 - x^2 na função:
f(x, x^3 - x^2) = x^2 + (x^3 - x^2)^3x^2 + (x^3 - x^2)
Vamos simplificar o numerador e o denominador:
Primeiro, calculamos o denominador:
x^2 + (x^3 - x^2) = x^2 + x^3 - x^2 = x^3
Agora, o numerador:
(x^3 - x^2)^3 = x^9 - 3x^8 + 3x^7 - x^6
Portanto,
x^2 + (x^3 - x^2)^3 = x^2 + x^9 - 3x^8 + 3x^7 - x^6
Agora, a função fica:
f(x, x^3 - x^2) = x^2 + x^9 - 3x^8 + 3x^7 - x^6x^3
Podemos dividir cada termo do numerador por x^3 :
f(x, x^3 - x^2) = x^2x^3 + x^9x^3 - 3x^8x^3 + 3x^7x^3 - x^6x^3
= x^-1 + x^6 - 3x^5 + 3x^4 - x^3
Agora, calculamos o limite quando x tende a 0:
limx to 0 ( x^-1 + x^6 - 3x^5 + 3x^4 - x^3 )
Observamos que x^-1 = 1x tende ao infinito quando x tende a 0. Mesmo os outros termos tendem a 0, mas o termo 1x domina e o limite é infinito.

Resposta

(i) O limite ao longo do eixo x é 1.
(ii) O limite ao longo da curva y = x^3 - x^2 tende ao infinito.

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