Exercício 2.7. Mostre que ao introduzirmos as variáveis adimensionais
a equação do calor
é transformada em
Passo 1
O enunciado parte da equação do calor
válida para
,
. Queremos mostrar que, definindo as variáveis adimensionais
e a nova função
a equação se reduz a
em
,
. Para isso vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais e ver como muda o domínio.
Passo 2
Expressamos as derivadas de
em termos de
. Primeiro note que
e que
não depende de
e
não depende de
. Definimos
Passo 3
Calculamos
usando a regra da cadeia:
Como
independe de
temos
, e
. Logo
Passo 4
Agora
e
:
pois
independe de
. Então
Passo 5
Substituindo em
temos
Cancelando
dos dois lados obtemos
Passo 6
O intervalo
vira
e
vira
. Assim a equação adimensional fica
Renomeando
e
, escrevemos finalmente
Resposta
A equação adimensional resultante é