Exercício 2.7. Mostre que ao introduzirmos as variáveis adimensionais
xi=xL e tau=KL^2 t
a equação do calor
ut=K ux x se 0<x<L e t>0
é transformada em
ut=ux x se 0<x<1 e t>0

Passo 1

O enunciado parte da equação do calor
ut(x,t)=K,ux x(x,t),
válida para 0<x<L, t>0. Queremos mostrar que, definindo as variáveis adimensionais
xi=xL, tau=KL^2,t,
e a nova função
U(xi,tau)=ul(x(xi),,t(tau)r),
a equação se reduz a
partial Upartial tau = partial^2Upartial xi^2,
em 0<xi<1, tau>0. Para isso vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais e ver como muda o domínio.

Passo 2

Expressamos as derivadas de u em termos de U. Primeiro note que
x=L,xi, t=L^2K,tau
e que xi não depende de t e tau não depende de x. Definimos
U(xi,tau)=u(x,t)

Passo 3

Calculamos ut usando a regra da cadeia:
ut = partial Upartial xi,partial xipartial t + partial Upartial tau,partial taupartial t
Como xi=x/L independe de t temos partial xi/partial t=0, e partial tau/partial t=K/L^2. Logo
ut = KL^2;Utau

Passo 4

Agora ux e ux x:
ux = Uxi,partial xipartial x + Utau,partial taupartial x = 1L,Uxi,
pois tau independe de x. Então
ux x = partialpartial xl(tfrac1LUxir) = 1L;partialpartial x(Uxi) = 1L;Uxixi,partial xipartial x = 1L^2,Uxixi

Passo 5

Substituindo em ut=K,uxx temos
KL^2,Utau = K;1L^2,Uxixi
Cancelando K/L^2 dos dois lados obtemos
Utau=Uxixi

Passo 6

O intervalo 0<x<L vira 0<xi<1 e t>0 vira tau>0. Assim a equação adimensional fica
partial Upartial tau = partial^2Upartial xi^2 em 0<xi<1, tau>0
Renomeando (xi,tau)to(x,t) e Uto u, escrevemos finalmente
ut=ux x em 0<x<1, t>0

Resposta

A equação adimensional resultante é
boxed ut=ux x para 0<x<1, t>0

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