Calcule os limites seguintes:
lim (x, y) (2,-1) x+y-2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando lim (x, y) (2,-1) x+y-2x^2+y^2 se aproxima de . A função é:
Aqui, estamos trabalhando com limites em funções de várias variáveis, especificamente aplicando conceitos de cálculo multivariável. Vamos precisar avaliar os valores de e próximos a e , respectivamente, e ver como a função se comporta nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir diretamente os valores de x + y - 2 = 2 + (-1) - 2 = -1 e x^2 + y^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5 no numerador e no denominador para ver se conseguimos calcular o limite diretamente.
No numerador:
No denominador:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a substituição direta é válida. Para que possamos substituir diretamente, o denominador não pode ser zero no ponto . Como calculamos, o denominador é , que é diferente de zero. Isso significa que a função é contínua nesse ponto, e podemos calcular o limite substituindo os valores diretamente.

Passo 4

Então, colocando tudo junto, o limite fica:
x + y - 2x^2 + y^2 = -15

Resposta

O limite é .

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