Exercício 0.3 Calcule a derivada das funções a seguir:
f(x)=(3 x^2+2)^2 cdot(x^2-5 x)^3.

Passo 1

O exercício pede a derivada de f(x) = (3x² + 2)² · (x² – 5x)³, então o conteúdo envolvido é regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Definimos u(x) = (3x² + 2)² e v(x) = (x² – 5x)³, de modo que f(x) = u(x)·v(x). Pela regra do produto temos f’(x) = u’(x)·v(x) + u(x)·v’(x).

Passo 3

Para achar u’(x) aplicamos a regra da cadeia: seja g(x)=3x²+2, então u(x)=g(x)² e g’(x)=6x. Logo,
u'(x) = 2·g(x)·g'(x) = 2·(3x²+2)·6x = 12x,(3x²+2)²²

Passo 4

Para v’(x) fazemos o mesmo: seja h(x)=x²–5x, então v(x)=h(x)³ e h’(x)=2x–5. Assim,
v'(x) = 3·h(x)²·h'(x) = 3·(x²5x)²·(2x5)²²²

Passo 5

Substituindo em f’(x) obtemos:
f'(x) = l[12x,(3x²+2)r]·(x²5x)³ + (3x²+2)² · l[3·(x²5x)²·(2x5)r]²²³²²²²

Passo 6

Para simplificar, fatoramos (3x²+2)·(x²–5x)² em ambas as parcelas:
f'(x) = (3x²+2),(x²5x)²l[12x(x²5x) + 3(3x²+2)(2x5)r]²²²²²

Passo 7

Expandindo o que está entre colchetes:
12x(x²5x) = 12x³ 60x²,²³²
3(3x²+2)(2x5) = 18x³ 45x² + 12x 30²³²
Somando: 12x³–60x² + 18x³–45x²+12x–30 = 30x³ –105x² +12x –30.

Passo 8

Portanto, a forma final é:
f'(x) = (3x²+2),(x²5x)²,(30x³ 105x² +12x 30)²²²³²

Resposta

f'(x) = (3x^2+2),(x^2-5x)^2,(30x^3-105x^2+12x-30)

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