Exercício 0.3 Calcule a derivada das funções a seguir:
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Passo 1
O exercício pede a derivada de f(x) = (3x² + 2)² · (x² – 5x)³, então o conteúdo envolvido é regra do produto e regra da cadeia.
Passo 2
Definimos u(x) = (3x² + 2)² e v(x) = (x² – 5x)³, de modo que f(x) = u(x)·v(x). Pela regra do produto temos f’(x) = u’(x)·v(x) + u(x)·v’(x).
Passo 3
Para achar u’(x) aplicamos a regra da cadeia: seja g(x)=3x²+2, então u(x)=g(x)² e g’(x)=6x. Logo,
Passo 4
Para v’(x) fazemos o mesmo: seja h(x)=x²–5x, então v(x)=h(x)³ e h’(x)=2x–5. Assim,
Passo 5
Substituindo em f’(x) obtemos:
Passo 6
Para simplificar, fatoramos (3x²+2)·(x²–5x)² em ambas as parcelas:
Passo 7
Expandindo o que está entre colchetes:
Somando: 12x³–60x² + 18x³–45x²+12x–30 = 30x³ –105x² +12x –30.
Passo 8
Portanto, a forma final é: