Calcule os limites a seguir:
lim x +infty[x(raizx^2-1-x)]

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyl[xl(raizx^2-1-xr)r]
Isto é um limite para xto+infty de um produto do tipo inftycdot(infty-infty), que é uma indeterminação. Vamos usar a técnica de racionalização para resolver.

Passo 2

Dentro do colchete temos raizx^2-1-x. Racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
raizx^2-1-x = l(raizx^2-1-xr)l(raizx^2-1+xr)raizx^2-1+x = (x^2-1)-x^2raizx^2-1+x = -1raizx^2-1+x

Passo 3

Substituindo no produto original,
xl(raizx^2-1-xr) = xcdot-1raizx^2-1+x = -xraizx^2-1+x
Agora dividimos numerador e denominador por x:
-xraizx^2-1+x = -x/xl(raizx^2-1/xr)+(x/x) = -1raiz1-1x^2+1

Passo 4

Quando xto+infty, temos raiz1-tfrac1x^2to1. Logo
limxto+inftyl(-1raiz1-tfrac1x^2+1r) = -11+1 = -tfrac12

Resposta

-tfrac12

Exercícios relacionados