Esboce o gráfico de , determine e, caso exista, : .
Passo 1
Vamos ler o enunciado: precisamos esboçar o gráfico da função f(x) definida por partes, e encontrar os limites quando x se aproxima de a = 2 pela esquerda ( a^- ) e pela direita ( a^+ ). Se o limite existir, também vamos determiná-lo. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta em diferentes intervalos de x .
Passo 2
Primeiro, vamos entender as diferentes partes da função f(x) :
Quando x >= 1 e x neq 2 , f(x) = x^2 - 1 .
Quando x = 2 , f(x) = 1 .
Quando x < 1 , f(x) = 1 - x .
Vamos analisar cada uma dessas partes separadamente para desenhar o gráfico.
Passo 3
Para x < 1 , temos f(x) = 1 - x . Essa é uma reta com inclinação negativa. Por exemplo, quando x = 0 , f(0) = 1 ; quando x = 1 , f(1) = 0 . Então, para x < 1 , o gráfico é uma linha reta descendo de (1, 0) para a esquerda.
Passo 4
Para x >= 1 e x neq 2 , a função é f(x) = x^2 - 1 . Essa é uma parábola que abre para cima, com vértice em x = 0 , mas estamos considerando apenas x >= 1 . Por exemplo, quando x = 1 , f(1) = 0 ; quando x = 3 , f(3) = 8 .
Passo 5
Em x = 2 , a função f(x) tem um valor definido como 1, ou seja, f(2) = 1 . Isso cria um ponto específico no gráfico, que pode não estar na parábola definida para x >= 1 .
Passo 6
Agora, vamos esboçar o gráfico juntando essas informações:
Para x < 1 , uma linha reta decendo até (1, 0) .
Para 1 <= x < 2 e x > 2 , a parábola y = x^2 - 1 .
Em x = 2 , colocamos o ponto (2, 1) , que pode ser diferente do valor da parábola neste ponto.
Passo 7
Vamos calcular os limites:
lim x 2^- f(x): é o limite pela esquerda de 2. Para x próximo a 2 pela esquerda, usamos f(x) = x^2 - 1 . Então,
lim x 2^- f(x) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3
lim x 2^+ f(x): é o limite pela direita de 2. Para x próximo a 2 pela direita, também usamos f(x) = x^2 - 1 . Então,
lim x 2^+ f(x) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3
Passo 8
Agora, verificamos se lim x 2 f(x) existe. Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais (ambos 3), então:
lim x 2 f(x) = 3
Note que mesmo que f(2) = 1 , o limite existe e é igual a 3.
Resposta
lim x 2^- f(x) = 3, lim x 2^+ f(x) = 3, lim x 2 f(x) = 3