Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa esboçar o gráfico da função f , e calcular os limites laterais quando x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita. Depois, ver se o limite geral existe nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona uma função por partes e como calcular limites laterais usando as definições básicas de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função f(x) está definida. Ela é uma função por partes, ou seja, o valor de f(x) muda dependendo de qual intervalo x está. Aqui, temos três casos:
Para x > 1 : f(x) = 3x - 2
Para x = 1 : f(x) = 2
Para x < 1 : f(x) = 4x + 1
Isso significa que, dependendo de onde x está em relação a 1, a fórmula para calcular f(x) muda.
Passo 3
Vamos começar a esboçar o gráfico. Primeiro, desenhe um eixo horizontal (x) e um eixo vertical (y).
Para x > 1 : A função é 3x - 2 . Isso é uma reta com inclinação 3 e intercepto em y = -2 . É uma linha que sobe conforme x aumenta.
Para x < 1 : A função é 4x + 1 . Também uma reta, com inclinação 4 e intercepto em y = 1 . Essa linha sobe mais rapidamente que a anterior.
Em x = 1 : O valor da função é f(1) = 2 . Vamos marcar esse ponto no gráfico.
Lembre-se de que, nas funções por partes, a gente geralmente desenha as linhas abertas ou fechadas dependendo do ponto. Aqui, como f(1) = 2 , vamos colocar um ponto fechado em (1, 2) .
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites laterais quando x se aproxima de 1.
Limite pela esquerda ( x 1^- ):
Aqui, estamos olhando para os valores de f(x) quando x está chegando em 1 vindo de valores menores que 1. Nesse intervalo, usamos a parte da função f(x) = 4x + 1 .
Então, calculamos:
limx to 1^- f(x) = limx to 1^- (4x + 1) = 4(1) + 1 = 5
Limite pela direita ( x 1^+ ):
Agora, estamos vendo os valores de f(x) quando x está chegando em 1 vindo de valores maiores que 1. Aqui, usamos f(x) = 3x - 2 .
Então, calculamos:
limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (3x - 2) = 3(1) - 2 = 1
Passo 5
Agora que temos os limites laterais, vamos ver se o limite geral existe em x = 1 .
Para o limite geral existir, os limites pela esquerda e pela direita precisam ser iguais. Aqui, vimos que:
limx to 1^- f(x) = 5 e limx to 1^+ f(x) = 1
Como 5 é diferente de 1, o limite geral não existe em x = 1 .
Resposta
Gráfico: A função tem duas retas, uma para x < 1 com f(x) = 4x + 1 e outra para x > 1 com f(x) = 3x - 2 . Em x = 1 , há um ponto fechado em (1, 2) .