Calcule os limites a seguir:
lim x +infty(1 / pi)^x^3(x^2-1)^-1

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto+inftyl(1/pir)^ x^3x^2-1
O conteúdo aqui é limite de uma potência com base constante menor que 1 e expoente que tende a +infty. Para resolver, vamos analisar o comportamento do expoente.

Passo 2

Observe que
x^3x^2-1 = x;x^2x^2-1 = x;11 - 1/x^2

Passo 3

Como xto+infty, temos a expansão em série
11 - 1/x^2 = 1 + 1x^2 + o!l(1/x^2r)
Logo
x^3x^2-1 = xl(1 + tfrac1x^2 + o(1/x^2)r) = x + 1x + o!l(1/xr)

Passo 4

Então a expressão original pode ser escrita usando exponencial:
l(1/pir)^x^3x^2-1 = exp!l(x^3x^2-1,ln(1/pi)r) = exp!l(x^3x^2-1,(-lnpi)r)
Como lnpi>0 e tfracx^3x^2-1to+infty, o argumento do exp tende a -infty. Portanto o limite vale 0.

Resposta

0

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