Determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não.
d^2 yd t^2+d yd t+(cos ^2 t) y=t^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar a ordem da equação diferencial e dizer se ela é linear ou não. A equação que temos é:
d^2 yd t^2 + d yd t + (cos^2 t) y = t^3
Para isso, vamos precisar entender dois conceitos:
  1. Ordem da equação diferencial: É o maior grau da derivada presente na equação.
  2. Linearidade da equação diferencial: Uma equação é linear se a função incógnita e suas derivadas aparecem de forma linear, ou seja, não são multiplicadas entre si nem passam por funções não lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a ordem da equação. Olhando para a equação:
d^2 yd t^2 + d yd t + (cos^2 t) y = t^3
Temos duas derivadas de y :
  • d^2 yd t^2 que é a segunda derivada.
  • d yd t que é a primeira derivada.
A maior ordem de derivada é 2, então a ordem da equação é segunda ordem.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é linear. Para que uma equação diferencial seja linear, ela deve ter a forma geral:
an(t) d^n yd t^n + an-1(t) d^n-1 yd t^n-1 + dots + a1(t) d yd t + a0(t) y = g(t)
onde an(t), an-1(t), dots, a0(t) são funções de t e g(t) é uma função conhecida.
Observando nossa equação:
d^2 yd t^2 + d yd t + (cos^2 t) y = t^3
Podemos ver que:
  • Os coeficientes das derivadas são funções de t ( 1, 1, cos^2 t ).
  • A incógnita y e suas derivadas aparecem apenas de forma linear, ou seja, não estão multiplicadas entre si nem envolvidas em funções não lineares.
Portanto, a equação é linear.

Resposta

A equação diferencial dada é de segunda ordem e é linear.

Exercícios relacionados