Determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar a ordem da equação diferencial e dizer se ela é linear ou não. A equação que temos é:
Para isso, vamos precisar entender dois conceitos:
- Ordem da equação diferencial: É o maior grau da derivada presente na equação.
- Linearidade da equação diferencial: Uma equação é linear se a função incógnita e suas derivadas aparecem de forma linear, ou seja, não são multiplicadas entre si nem passam por funções não lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a ordem da equação. Olhando para a equação:
Temos duas derivadas de
:
-
que é a segunda derivada. -
que é a primeira derivada.
A maior ordem de derivada é 2, então a ordem da equação é segunda ordem.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é linear. Para que uma equação diferencial seja linear, ela deve ter a forma geral:
onde
são funções de
e
é uma função conhecida.
Observando nossa equação:
Podemos ver que:
- Os coeficientes das derivadas são funções de
( ). - A incógnita
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear, ou seja, não estão multiplicadas entre si nem envolvidas em funções não lineares.
Portanto, a equação é linear.
Resposta
A equação diferencial dada é de segunda ordem e é linear.