Calcule os limites a seguir:
lim x +infty[x ln 2-ln (3^x+1)]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto+inftyl[xln2-lnl(3^x+1r)r]
O conteúdo envolve limites de funções que usam logaritmo e reconhecimento de qual termo domina quando xto+infty. Vamos usar a propriedade de logaritmo de soma ampliando por 3^x.

Passo 2

Usamos a identidade
lnl(3^x+1r) =lnl(3^xl(1+3^-xr)r) =lnl(3^xr)+lnl(1+3^-xr) =xln3+lnl(1+3^-xr)

Passo 3

Substituindo em xln2-ln(3^x+1) obtemos
xln2-l[xln3+ln(1+3^-x)r] =x(ln2-ln3)-ln(1+3^-x)
Como ln2-ln3=ln!tfrac23<0 e ln(1+3^-x)to0 quando xto+infty, o termo dominante é
xln!tfrac23to-infty

Resposta

-infty

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