Calcule os limites a seguir:
lim x -infty(raizx^2-3 x+x)

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto -inftyl(raizx^2-3x+xr)
Este é um problema de limite no infinito envolvendo uma raiz quadrada. Para resolver, vamos usar manipulação algébrica (racionalização) e depois analisar o comportamento dominante de x quando xto-infty.

Passo 2

Racionalizamos a expressão somando e subtraindo o conjugado. Defina
L = raizx^2-3x+x
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado raizx^2-3x-x:
L = l(raizx^2-3x+xr)l(raizx^2-3x-xr)raizx^2-3x-x = x^2-3x - x^2raizx^2-3x-x = -3xraizx^2-3x-x

Passo 3

Agora simplificamos a raiz para xto -infty. Note que para x<0 temos raizx^2=-x. Logo,
raizx^2-3x = raizx^2l(1-3xr) = |x|raiz1-3x = -,xraiz1-3x
Substituindo no denominador:
raizx^2-3x-x = -xraiz1-tfrac3x ;-; x = -,xl(raiz1-tfrac3x+1r)
Logo
L = -3x-,xl(raiz1-tfrac3x+1r) = 3raiz1-tfrac3x+1

Passo 4

Basta agora fazer xto -infty na forma simplificada. Como tfrac3xto 0, temos
raiz1-tfrac3x;longrightarrow;raiz1=1,
portanto
L = 31+1 = 32

Resposta

limxto -inftyl(raizx^2-3x+xr) = 32

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