Calcule os limites a seguir:

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto -inftyl[e^xcdotsin xr]. O conteúdo é limites envolvendo funções exponencial e trigonométrica e vamos precisar usar o fato de que e^xto0 quando xto-infty e que sin x é limitada.

Passo 2

Sabemos que sin x está sempre entre -1 e 1:
-1 <= sin x <= 1
Como e^x>0 para todo x, multiplicando essa desigualdade por e^x obtemos:
-,e^x <= e^xcdotsin x <= e^x

Passo 3

À medida que xto -infty, temos e^xto0. Portanto os limites das funções -e^x e e^x são ambos zero. Pelo Teorema do Confronto (ou do Sanduíche), o limite de e^xcdotsin x também é zero.

Resposta

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