Calcule os limites a seguir:
lim x +infty[2+5 x^31-3 x^7 cos (ln x)]

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyl[2+5x^31-3x^7cos(ln x)r]
Aqui vamos usar análise de termos dominantes em infinitos e o fato de que cos(ln x) é limitada, aplicando o Teorema do Confronto.

Passo 2

Estudamos primeiro a parte racional
R(x)=2+5x^31-3x^7
Para xto+infty, o termo dominante no numerador é 5x^3 e no denominador é -3x^7. Logo
R(x)sim5x^3-3x^7=-53x^4Longrightarrow R(x)to0

Passo 3

Observamos que
cos(ln x)
é uma função oscilante, mas permanece sempre entre -1 e 1, ou seja
-1<=cos(ln x)<=1

Passo 4

Considere o produto
f(x)=R(x),cos(ln x)
Temos
|f(x)| = l|R(x)r|cdotl|cos(ln x)r|<= |R(x)|cdot1 = |R(x)|,
e já vimos que l|R(x)r|to0. Pelo Teorema do Confronto concluímos que
f(x)to0

Resposta

0

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