Um capital foi aplicado por seis meses a juros efetivos de
a.a. Determinar o valor do capital sabendo-se que, se o montante ao término do prazo, diminuído da metade dos juros ganhos, fosse reaplicado à mesma taxa efetiva, renderia em três meses juros de $18,42.
Passo 1
O enunciado diz que um capital
foi aplicado por
meses a uma taxa efetiva de
ao ano. Ao fim desses
meses, obtemos o montante, retiramos metade dos juros ganhos e reinvestimos esse valor por mais
meses `a mesma taxa, o que rende juros de
. Vamos usar fatores de acumula\c{c}~ao fracion’arios para juros compostos e a defini\c{c}~ao de juros como diferen\c{c}a entre montante e capital.
Passo 2
Calculemos o montante após
meses. A taxa anual efetiva é
, logo o fator de acumulação em meio ano (
ano) é
. Assim,
e os juros ganhos em
meses são
Passo 3
Retiramos metade destes juros e reinvestimos o resto. O valor reinvestido
é
Passo 4
Esse valor
é aplicado por mais
meses, ou seja,
ano, ao mesmo
. O fator de acumulação em
meses é
. Os juros obtidos nessa segunda aplicação são
e temos
.
Passo 5
Substituindo
em
e resolvendo para
:
Calculando numericamente
e
, obtemos
Resposta
O capital inicial foi de
.