Um capital foi aplicado por seis meses a juros efetivos de 15 % a.a. Determinar o valor do capital sabendo-se que, se o montante ao término do prazo, diminuído da metade dos juros ganhos, fosse reaplicado à mesma taxa efetiva, renderia em três meses juros de $18,42.

Passo 1

O enunciado diz que um capital P foi aplicado por 6 meses a uma taxa efetiva de 15% ao ano. Ao fim desses 6 meses, obtemos o montante, retiramos metade dos juros ganhos e reinvestimos esse valor por mais 3 meses `a mesma taxa, o que rende juros de $18,42. Vamos usar fatores de acumula\c{c}~ao fracion’arios para juros compostos e a defini\c{c}~ao de juros como diferen\c{c}a entre montante e capital.

Passo 2

Calculemos o montante após 6 meses. A taxa anual efetiva é i=0,15, logo o fator de acumulação em meio ano ( 0,5 ano) é (1+i)^0,5=(1,15)^0,5. Assim,
A1 = P,(1,15)^0,5,
e os juros ganhos em 6 meses são
J1 = A1 - P

Passo 3

Retiramos metade destes juros e reinvestimos o resto. O valor reinvestido A2 é
A2 = A1 - tfrac12,J1 = A1 - tfrac12,(A1 - P) = tfrac12l(P + A1r)

Passo 4

Esse valor A2 é aplicado por mais 3 meses, ou seja, 0,25 ano, ao mesmo i=0,15. O fator de acumulação em 3 meses é (1,15)^0,25. Os juros obtidos nessa segunda aplicação são
J2 = A2l((1,15)^0,25-1r),
e temos J2 = 18,42.

Passo 5

Substituindo A2 em J2 e resolvendo para P:
tfrac12l(P + P,(1,15)^0,5r),l((1,15)^0,25-1r)=18,42
P;1+(1,15)^0,52;l((1,15)^0,25-1r)=18,42
P=2cdot18,42l(1+(1,15)^0,5r),l((1,15)^0,25-1r)
Calculando numericamente (1,15)^0,5approx1,07239 e (1,15)^0,25approx1,03556, obtemos
P=36,842,07239times0,03556approx500

Resposta

O capital inicial foi de $500,00.

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