Calcule os limites a seguir:
lim x 0^+[x^3(4-cos x^-2)+e^xx]

Passo 1

O enunciado pede
limxto0^+l[x^3l(4-cos(x^-2)r)+e^xxr]
Para resolver vamos separar em duas parcelas:
A(x)=x^3l(4-cos(x^-2)r), B(x)=e^xx

Passo 2

Analisando A(x): como cos(t)in[-1,1] para todo t, temos
3<= 4-cos(x^-2)<=5,
então
3x^3<= A(x)<=5x^3
Como xto0^+ implica x^3to0, pela regra do confronto segue
limxto0^+A(x)=0

Passo 3

Agora B(x)=e^x/x. Expandindo e^x em série de Taylor em torno de 0:
e^x=1+x+tfracx^22+O(x^3)
Logo
e^xx =1+x+tfracx^22+O(x^3)x =1x+1+x2+O(x^2)
Ao fazermos xto0^+, o termo 1/x domina e tende a +infty, portanto
limxto0^+B(x)=+infty

Resposta

Como A(x)to0 e B(x)to+infty, temos
limxto0^+l[A(x)+B(x)r]=+infty

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