Calcule os limites a seguir:
lim x +infty[sen(x^2+x+11+2 x) cos (pi x^3+x^2-32-x+2 x^3)]

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto+inftyl[sin!l(tfracx^2+x+11+2xr),cos!l(tfracpi x^3+x^2-32 - x +2x^3r)r]
Este é um limite em que os argumentos de sin e cos são frações racionais que crescem com x. Para resolver, vamos usar divisão de polinômios para obter o comportamento assintótico dos argumentos e depois aproximar as funções trigonométricas em termos pequenos.

Passo 2

Vamos expandir
x^2+x+11+2x
Fazendo divisão de polinômios:
x^2+x+1 = l(tfracx2r)(2x+1) + l(tfracx2+1r),
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x^2+x+11+2x = x2 + tfracx2+12x+1 = x2 + 14 + Ol(tfrac1xr)
Portanto
sin!l(tfracx^2+x+11+2xr) =sin!l(tfracx2 + tfrac14 + O(tfrac1x)r),
que é limitada entre -1 e 1 e oscila sem converge.

Passo 3

Agora expandimos
pi x^3+x^2-32 - x +2x^3
Dividindo pelo termo líder 2x^3:
pi x^3+x^2-32 - x +2x^3 = pi2 + l(pi x^3+x^2-3r) - tfracpi2(2x^3-x+2)2x^3-x+2 = pi2 + x^2 + tfracpi2x -(!3+pi!)2x^3-x+2,
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pi x^3+x^2-32 - x +2x^3 = pi2 + 12x + Ol(tfrac1x^2r)

Passo 4

Para xtoinfty, chamemos varepsilonx = tfrac12x+O(tfrac1x^2), então
cos!l(pi2 + varepsilonxr) = -sin(varepsilonx) approx -varepsilonx = -12x + Ol(tfrac1x^2r)
Assim, cosl((pi x^3+x^2-3)/(2 - x +2x^3)r) tende a zero com ordem 1/x.

Passo 5

O produto no limite é
sin!l(tfracx^2+x+11+2xr),cos!l(tfracpi x^3+x^2-32 - x +2x^3r) approx underbracesin(dots)bounded ;times;l(-tfrac12x+O(tfrac1x^2)r)
Como sin(dots) é limitado e o outro fator vai a zero, o produto tende a zero.

Resposta

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