Encontre a primitiva.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a primitiva de uma função, ou seja, resolver a integral indefinida:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com técnicas de integração envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando temos raízes quadradas de expressões quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Observando a parte
, notamos que ela se parece com a identidade trigonométrica
. Então, vamos definir:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando cada parte:
Substituindo essas simplificações na integral:
Passo 4
Observamos que o
no numerador e no denominador se cancelam:
Simplificando ainda mais:
Passo 5
A integral de
é uma integral padrão que conhecemos:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, precisamos voltar à variável original
. Sabemos que fizemos a substituição
. Vamos desenhar um triângulo retângulo para expressar
em termos de
.
No triângulo:
- O cateto oposto a
é . - A hipotenusa é
. - O cateto adjacente, pelo teorema de Pitágoras, é
.
Então:
Passo 7
Substituindo
de volta na expressão:
Resposta
A primitiva da função dada é: