Encontre a primitiva.
integral 1x^2 raiz25-x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a primitiva de uma função, ou seja, resolver a integral indefinida:
integral 1x^2 raiz25 - x^2 , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com técnicas de integração envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando temos raízes quadradas de expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Observando a parte raiz25 - x^2, notamos que ela se parece com a identidade trigonométrica 1 - sin^2theta = cos^2theta. Então, vamos definir:
x = 5 sintheta
Isso significa que:
dx = 5 costheta , dtheta

Passo 3

Agora, vamos substituir x e dx na integral original:
integral 1(5 sintheta)^2 raiz25 - (5 sintheta)^2 cdot 5 costheta , dtheta
Simplificando cada parte:
  • (5 sintheta)^2 = 25 sin^2theta
  • raiz25 - 25 sin^2theta = raiz25(1 - sin^2theta) = 5 costheta
Substituindo essas simplificações na integral:
integral 125 sin^2theta cdot 5 costheta cdot 5 costheta , dtheta

Passo 4

Observamos que o 5 costheta no numerador e no denominador se cancelam:
integral 125 sin^2theta cdot 5 costheta , dtheta = integral 125 sin^2theta cdot 5 costheta , dtheta = integral 15 cdot 5 sin^2theta cdot 5 costheta , dtheta = integral 15 sin^2theta , dtheta
Simplificando ainda mais:
15 integral 1sin^2theta , dtheta

Passo 5

A integral de 1sin^2theta é uma integral padrão que conhecemos:
integral 1sin^2theta , dtheta = -cottheta + C
Então, substituindo de volta:
15 (-cottheta) + C = -15 cottheta + C

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original x. Sabemos que fizemos a substituição x = 5 sintheta. Vamos desenhar um triângulo retângulo para expressar cottheta em termos de x.
No triângulo:
  • O cateto oposto a theta é x.
  • A hipotenusa é 5.
  • O cateto adjacente, pelo teorema de Pitágoras, é raiz25 - x^2.
Então:
cottheta = cateto adjacentecateto oposto = raiz25 - x^2x

Passo 7

Substituindo cottheta de volta na expressão:
-15 cdot raiz25 - x^2x + C = -raiz25 - x^25x + C

Resposta

A primitiva da função dada é:
-raiz25 - x^25x + C

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