Encontre a primitiva.
integral raiz2 x-x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a primitiva de integral raiz2x - x^2 , dx . Isso está ligado ao cálculo integral, especificamente à integração de funções que envolvem radicais. Para resolver, vamos usar técnicas de substituição e completar o quadrado para simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz raiz2x - x^2 . Podemos reescrever essa expressão completando o quadrado:
2x - x^2 = -x^2 + 2x = -(x^2 - 2x)
Agora, completando o quadrado para x^2 - 2x :
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
Substituindo de volta:
2x - x^2 = -[(x - 1)^2 - 1] = - (x - 1)^2 + 1
Então, a integral fica:
integral raiz1 - (x - 1)^2 , dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = x - 1 , então du = dx . Substituindo na integral:
integral raiz1 - u^2 , du
Essa é uma forma padrão que reconhecemos como a integral de raiz1 - u^2 , que está relacionada à função arco seno.

Passo 4

Sabemos que a integral de raiz1 - u^2 é:
integral raiz1 - u^2 , du = 12 ( u raiz1 - u^2 + arcsin(u) ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos substituir de volta u = x - 1 na expressão que encontramos:
12 ( (x - 1) raiz1 - (x - 1)^2 + arcsin(x - 1) ) + C
Lembrando que 1 - (x - 1)^2 = 2x - x^2 , podemos simplificar a expressão final.

Resposta

A primitiva de raiz2x - x^2 é:
12 ( (x - 1) raiz2x - x^2 + arcsin(x - 1) ) + C

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