Determine as derivadas parciais.
f(x, y, z)=raiz[5]x^3+y^2-3 z

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y,z)=raiz[5]x^3+y^2-3z=(x^3+y^2-3z)^1/5.
O conteúdo principal é aplicação da regra da cadeia em funções compostas.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x,y,z)=x^3+y^2-3z
e escrevemos
f(x,y,z)=u(x,y,z)^1/5
Pela regra da cadeia, para cada variável tinx,y,z vale
partial fpartial t =15,u^-4/5,partial upartial t

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de u:
partial upartial x=3x^2, partial upartial y=2y, partial upartial z=-3

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra da cadeia e simplificando, obtemos
partial fpartial x =15(x^3+y^2-3z)^-4/5cdot3x^2 =3x^25,(x^3+y^2-3z)^4/5
partial fpartial y =15(x^3+y^2-3z)^-4/5cdot2y =2y5,(x^3+y^2-3z)^4/5
partial fpartial z =15(x^3+y^2-3z)^-4/5cdot(-3) =-35,(x^3+y^2-3z)^4/5

Resposta

partial fpartial x =3x^25,(x^3+y^2-3z)^4/5, partial fpartial y =2y5,(x^3+y^2-3z)^4/5, partial fpartial z =-35,(x^3+y^2-3z)^4/5

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