Determine as derivadas parciais.
f(x, y, z)=arctan x-z^2y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais da função
f(x,y,z)=arctan!gl(x - z^2ygr)
O conteúdo necessário é derivada de função composta (regra da cadeia) e derivadas parciais de quociente.

Passo 2

Definimos
u(x,y,z)=x - z^2y
Como sabemos que
dduarctan(u)=11+u^2,
pela regra da cadeia vale
partial fpartial xi =11+u^2;partial upartial xi,
para xiinx,y,z.

Passo 3

Calculamos partial u/partial x. Como
u=(x - z^2),y^-1,
temos
partial upartial x =1y
Logo
partial fpartial x =11+u^2cdot1y Longrightarrow partial fpartial x =y,y^2+(x - z^2)^2,

Passo 4

Calculamos partial u/partial y. Derivando
u=(x - z^2),y^-1
em relação a y obtém-se
partial upartial y =-(x - z^2),y^-2
Portanto
partial fpartial y =11+u^2cdotl[-(x - z^2),y^-2r] Longrightarrow partial fpartial y =-x - z^2,y^2+(x - z^2)^2,

Passo 5

Calculamos partial u/partial z. Como
u=x - z^2y,
derivando em relação a z vem
partial upartial z =-2zy
Logo
partial fpartial z =11+u^2cdot-2zy Longrightarrow partial fpartial z =-2zy,y^2+(x - z^2)^2,

Resposta

partial fpartial x =y,y^2+(x - z^2)^2,, partial fpartial y =-x - z^2,y^2+(x - z^2)^2,, partial fpartial z =-2zy,y^2+(x - z^2)^2,

Exercícios relacionados