Calcule os limites a seguir.
lim x 1 raiz2-x^2-1x-1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
limxto1raiz2-x^2-1x-1
O conteúdo é limites de funções que geram indeterminação do tipo 00. Vamos usar a técnica de racionalização do numerador, multiplicando pelo conjugado raiz2-x^2+1.

Passo 2

Primeiro, observamos a substituição direta x=1:
raiz2-1^2-1 = raiz1-1 = 1-1 = 0, 1-1 = 0,
logo a forma é tfrac00, o que confirma a necessidade de racionalizar.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador por raiz2-x^2+1:
raiz2-x^2-1x-1 ;cdot; raiz2-x^2+1raiz2-x^2+1 = (raiz2-x^2-1)(raiz2-x^2+1)(x-1)l(raiz2-x^2+1r)
No numerador, usamos (a-b)(a+b)=a^2-b^2:
(raiz2-x^2)^2-1^2 = (2-x^2)-1 =1-x^2 =-(x^2-1) =-(x-1)(x+1)

Passo 4

Substituindo no quociente, fica
-(x-1)(x+1)(x-1)l(raiz2-x^2+1r)
e para xneq1 cancelamos x-1, obtendo
-x+1raiz2-x^2+1

Passo 5

Agora calculamos o limite da expressão simplificada quando xto1:
limxto1 -x+1raiz2-x^2+1 = -1+1raiz2-1^2+1 = -21+1 = -1

Resposta

-1

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