Determine o domínio e a imagem das funções
abaixo definidas por
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio e a imagem. Para isso vamos usar duas ideias principais:
- Domínio: exigir que o denominador seja diferente de zero.
- Imagem: estudar a monotonicidade (pela derivada) e os limites em cada ramo de domínio.
Passo 2
Para encontrar o domínio basta garantir
, pois o denominador não pode anular-se. Logo
Passo 3
Calculamos a derivada para entender monotonicidade:
Dessa expressão vemos que o único ponto crítico em
é
. Além disso:
- Para
, temos (função crescente). - Para
, temos (função decrescente). - Para
, e , logo em todo (sempre decrescente).
Passo 4
Agora juntamos monotonicidade e limites:
- Ramo positivo
: -
. -
. - No mínimo em
, vale .
Logo ema imagem é .
-
- Ramo negativo
: -
. -
. - A função é decrescente, percorre todos os valores de
até .
Logo ema imagem é .
-
Unindo os dois ramos, a imagem total é
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: