Determine o domínio e a imagem das funções f abaixo definidas por
f(x)=e^xx

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^xx
e pede o domínio e a imagem. Para isso vamos usar duas ideias principais:
  1. Domínio: exigir que o denominador seja diferente de zero.
  2. Imagem: estudar a monotonicidade (pela derivada) e os limites em cada ramo de domínio.

Passo 2

Para encontrar o domínio basta garantir xneq0, pois o denominador não pode anular-se. Logo
Dom(f)=(-infty,0),cup,(0,infty)

Passo 3

Calculamos a derivada para entender monotonicidade:
f'(x) =(e^x)',x - e^xcdot1x^2 =e^x,x - e^xx^2 =e^x,(x-1)x^2
Dessa expressão vemos que o único ponto crítico em (0,infty) é x=1. Além disso:
  • Para x>1, temos f'(x)>0 (função crescente).
  • Para 0<x<1, temos f'(x)<0 (função decrescente).
  • Para x<0, x-1<0 e x^2>0, logo f'(x)<0 em todo (-infty,0) (sempre decrescente).

Passo 4

Agora juntamos monotonicidade e limites:
  1. Ramo positivo x>0:
    • limxto0^+f(x)=+infty.
    • limxto+inftyf(x)=+infty.
    • No mínimo em x=1, vale f(1)=e.
      Logo em (0,infty) a imagem é [e,infty).
  2. Ramo negativo x<0:
    • limxto-inftyf(x)=0^-.
    • limxto0^-f(x)=-infty.
    • A função é decrescente, percorre todos os valores de 0^- até -infty.
      Logo em (-infty,0) a imagem é (-infty,0).
Unindo os dois ramos, a imagem total é
Im(f)=(-infty,0),cup,[e,infty)

Resposta

Domínio: (-infty,0)cup(0,infty)
Imagem: (-infty,0)cup[e,infty)

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