Prove os seguintes limites usando a definição.
lim x 1 x^2+3 x-5=-1

Passo 1

O enunciado pede para provar, pela definição de limite epsilon-delta, que
limxto1l(x^2+3x-5r)=-1
Aqui f(x)=x^2+3x-5 e queremos mostrar: para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, se 0<|x-1|<de<a, então
l|f(x)-(-1)r|<varepsilon

Passo 2

Calculemos a diferença entre f(x) e o valor-limite -1:
f(x)-(-1)=x^2+3x-5+1=x^2+3x-4
Fatorando,
x^2+3x-4=(x-1)(x+4),
logo
l|f(x)+1r|=l|x-1r|;l|x+4r|

Passo 3

Para controlar lvert x+4rvert, restringimos x a ficar num intervalo centrado em 1. Por exemplo, se escolhermos
de<a<=1, então 0<|x-1|<de<a<=1 implica xin(0,2), e daí
|x+4|<= 2+4=6
Assim, sempre que 0<|x-1|<de<a<=1, vale
l|f(x)+1r|;=;|x-1|;|x+4|;<=;6,|x-1|

Passo 4

Dado varepsilon>0, basta garantir
6,|x-1|<varepsilon Long<=ftrightarrow |x-1|<varepsilon6
Logo definimos
de<a=minl(1,;varepsilon6r)
Então, sempre que 0<|x-1|<de<a, temos
l|f(x)-(-1)r|=l|f(x)+1r|<=6,|x-1|<6cdotvarepsilon6=varepsilon
Isso conclui a prova pela definição de limite.

Resposta

Para todo varepsilon>0, escolhendo
de<a=minl(1,;varepsilon6r),
temos que se 0<|x-1|<de<a então
l|(x^2+3x-5)-(-1)r|<varepsilon. Logo
limxto1l(x^2+3x-5r)=-1

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