Calcule os limites a seguir.
lim x 4 raiz[3]x-raiz[3]4x-4

Passo 1

O enunciado pede
limxto 4raiz[3]x-raiz[3]4x-4
que é uma indeterminação do tipo tfrac00. Vamos usar a racionalização do numerador aplicando a identidade de diferença de cubos.

Passo 2

Defina a=raiz[3]x e b=raiz[3]4. Como
a^3 - b^3 = (a - b),(a^2 + a b + b^2),
multiplicamos numerador e denominador por a^2 + a b + b^2, obtendo
a - bx - 4;cdot;a^2 + a b + b^2a^2 + a b + b^2 = a^3 - b^3(x - 4),(a^2 + a b + b^2) = x - 4(x - 4),(a^2 + a b + b^2) = 1a^2 + a b + b^2

Passo 3

Agora basta avaliar em x=4, onde a=b=raiz[3]4. Assim,
a^2 + a b + b^2 = 3,(raiz[3]4)^2
e daí
limxto 4raiz[3]x-raiz[3]4x-4 = 13,(raiz[3]4)^2

Resposta

13,(raiz[3]4)^2

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