Calcule os limites a seguir.
lim x 0 raizx^5+x^2 cdot sen^2(1x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0raizx^5+x^2;sin^2!l(tfrac1xr)
Percebemos uma indeterminação do tipo “ 0cdotoscilação”, então a estratégia será fatorar a raiz para isolar o comportamento em xto0 e depois aplicar o teorema do confronto.

Passo 2

Dentro da raiz, fatoramos x^2:
raizx^5+x^2 =raizx^2(1+x^3) =|x|raiz1+x^3
Para x próximo de 0, temos 1+x^3>0, logo essa manipulação é válida. Além disso
raiz1+x^3;xrightarrow[xto0];1

Passo 3

Reescrevendo o produto,
raizx^5+x^2;sin^2!l(tfrac1xr) =|x|raiz1+x^3;sin^2!l(tfrac1xr)
Como sempre valem
0<=sin^2!l(tfrac1xr)<=1,
segue
0;<=;|x|raiz1+x^3;sin^2!l(tfrac1xr) ;<=;|x|raiz1+x^3
Mas |x|raiz1+x^3xrightarrow[xto0]0. Pelo teorema do confronto, o limite desejado é 0.

Resposta

0

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