Encontre soluções gerais para as seguinte equações de Euler-Cauchy:
x^2 y^prime prime+x y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
x^2y'' + x,y' = 0
Esse tipo de equação é resolvido assumindo uma solução da forma y=x^m e levando em conta que as derivadas de x^m são expressas em potências de x.

Passo 2

Suponha
y = x^m
Então
y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1),x^m-2
Substituindo na equação original:
x^2l[m(m-1)x^m-2r] + xl[m x^m-1r] = m(m-1)x^m + m,x^m = l[m(m-1)+mr]x^m = m^2x^m
Logo a condição para termos solução não trivial é
m^2=0,
ou seja, ,m=0 é raiz dupla da equação característica.

Passo 3

Quando a equação característica de uma Euler–Cauchy de segunda ordem tem raiz dupla m, a solução geral é
y(x) = C1,x^m + C2,x^mln(x)
Aqui m=0, portanto
y(x) = C1 + C2ln(x)

Resposta

y(x) = C1 + C2ln(x),
válido para x>0, onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados