Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=x-cos xx+cos x

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=x-cos xx+cos x
Vamos usar a regra do quociente, que diz que, se f(x)=u(x)v(x), então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 2

Definimos
u(x)=x-cos x, v(x)=x+cos x
As derivadas são
u'(x)=1+sin x, v'(x)=1-sin x,
pois ddx(x)=1 e ddx(cos x)=-sin x.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente, temos
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =(1+sin x)(x+cos x);-;(x-cos x)(1-sin x)(x+cos x)^2

Passo 4

Vamos expandir e simplificar o numerador:
(1+sin x)(x+cos x) = x + cos x + xsin x + sin xcos x,
(x-cos x)(1-sin x) = x - xsin x - cos x + cos xsin x
Subtraindo o segundo do primeiro, o termo sin xcos x cancela e obtemos
[x + cos x + xsin x + sin xcos x] - [x - xsin x - cos x + cos xsin x] =2cos x + 2xsin x

Passo 5

Portanto a derivada fica
f'(x) =2(cos x + xsin x)(x+cos x)^2

Resposta

f'(x)=2(cos x + xsin x)(x+cos x)^2

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