Dados os números complexos z_{1}=3+4 i e z_{2}=-5+2 i, represente-os no plano de ArgandGauss. Em seguida, determine w_{1}=z_{1}+z_{2} e w_{2}=z_{1}-z_{2}, e represente-os também no mesmo plano. Justifique geometricamente por que os pontos 0, z_{1}, z_{2} e w_{1} formam os vértices de um paralelogramo.

Passo 1

O enunciado pede para representar no plano de Argand–Gauss os pontos associados a
\,z_{1}=3+4i e \,z_{2}=-5+2i, em seguida calcular
\,w_{1}=z_{1}+z_{2} e \,w_{2}=z_{1}-z_{2} e representá-los também. Por fim, justificar geometricamente por que os pontos 0, z_{1}, z_{2} e w_{1} são vértices de um paralelogramo. Vamos usar o fato de que somar números complexos corresponde a adicionar vetores no plano.

Passo 2

Cada número complexo x+yi corresponde ao ponto (x,y) no plano. Logo:
\,z_{1}=3+4i é o ponto (3,4).
\,z_{2}=-5+2i é o ponto (-5,2).

Passo 3

Calculamos agora
w_{1}=z_{1}+z_{2}=(3+4i)+(-5+2i)=-2+6i
w_{2}=z_{1}-z_{2}=(3+4i)-(-5+2i)=8+2i

Passo 4

Em coordenadas:
\,w_{1}=-2+6i corresponde ao ponto (-2,6).
\,w_{2}=8+2i corresponde ao ponto (8,2).

Passo 5

Na interpretação vetorial, OZ_{1} é o vetor \,z_{1} e OZ_{2} é o vetor \,z_{2}. O ponto W_{1} corresponde a z_{1}+z_{2}, ou seja, OW_{1}=OZ_{1}+OZ_{2}. Assim, o segmento de Z_{1} a W_{1} é paralelo e igual ao vetor OZ_{2}, e o segmento de Z_{2} a W_{1} é paralelo e igual ao vetor OZ_{1}. Isso garante que os quatro pontos O, Z_{1}, W_{1}, Z_{2} formem um paralelogramo, pois seus lados opostos são vetores iguais e paralelos.

Resposta

\,w_{1}=-2+6i
\,w_{2}=8+2i

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