Determine o número complexo z que satisfaz a equação 2 z+\bar{z}=9-2 i. Descreva o passo a passo da resolução, substituindo z por x+y i.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o número complexo z que satisfaz
2\,z + \overline{z} = 9 - 2\,i.
O conteúdo é álgebra de números complexos: vamos usar a escrita z = x + y\,i e a definição de conjugado \overline{z}=x - y\,i, e depois igualar partes real e imaginária.

Passo 2

Substituímos z = x + y\,i e \overline{z} = x - y\,i na equação:
2\,z + \overline{z} = 2\,(x + y\,i) + (x - y\,i).

Passo 3

Fazendo as operações,
2\,(x + y\,i) + (x - y\,i) = 2x + 2y\,i + x - y\,i = (2x + x) + (2y - y)\,i = 3x + y\,i.
Portanto a equação fica
3x + y\,i = 9 - 2\,i.

Passo 4

Como dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias forem iguais, obtemos o sistema
\begin{cases} 3x = 9,\\\ y = -2. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o sistema:
x = \frac{9}{3} = 3, \qquad y = -2.

Passo 6

Voltando a z = x + y\,i, temos
z = 3 - 2\,i.

Resposta

z = 3 - 2\,i.

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