Calcule os limites a seguir aplicando os limites fundamentais.
h)

Passo 1

A questão pede para calcular limxto0cos2x-cos3xx^2, usando limites fundamentais de funções trigonométricas ( limuto0sin uu=1 e aproximação cos uapprox1-tfracu^22).

Passo 2

Para reescrever a diferença de cossenos, usamos a identidade trigonométrica:
cos A - cos B = -2sinl(tfracA+B2r)sinl(tfracA-B2r)
Aplicando com A=2x e B=3x:

Passo 3

Substituindo na expressão e simplificando o sinal:
cos2x - cos3x = -2sinl(tfrac2x+3x2r)sinl(tfrac2x-3x2r) = -2sinl(tfrac5x2r)sinl(-tfracx2r) = 2sinl(tfrac5x2r)sinl(tfracx2r)
Assim o limite vira
cos2x - cos3xx^2 =2sin(tfrac5x2)x;sinl(tfracx2r)

Passo 4

Quando xto0, usamos sin uapprox u:
sinl(tfrac5x2r)approx tfrac5x2, sinl(tfracx2r)approx tfracx2
Logo o numerador se comporta como
2cdot 5x2cdot x2 = 5x^22
e
cos2x - cos3xx^2approx 5x^2/2x^2 = 52

Resposta

tfrac52

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